Dans ce chapitre, nous allons étudier le sens de variation des fonctions affines ou linéaires suivant le signe de leurs coefficients directeur et construire leur tableaux de variation.

1. Sens de variation des fonctions affines et linéaires

Théorème 1.
Soit $f$ une fonction affine ou linéaire, définie pour tout $x\in\R$ par : $f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux nombres réels donnés ($p=0$ si $f$ est linéaire) . Alors :
a) Si $m$ est positif, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ ;
b) Si $m$ est négatif, alors la fonction $f$ est strictement décroissante $\R$ ;
c) Si $m=0$, alors la fonction $f$ est constante sur $\R$.

Rappelons tout d’abord que pour comparer deux nombres réels, on étudie le signe de leur différence.
Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels quelconques. Supposons que $x_2>x_1$. Donc $x_2-x₁>0$. Mais alors :
$$\begin{array}{rcl}
f(x_2)–f(x_1)&=&(mx_2+p)-(mx_1+p)\\
&=&mx_2+p-mx_1-p\\
&=&m(x_2 – x_1)\\
\end{array}$$ Ainsi :

$\bullet$ Si $m>0$, alors : $f(x_2)–f(x_1)>0$. Ce qui donne : $f(x_2)>f(x_1)$.
Les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents.
Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur $\R$.

$\bullet$ Si $a<0$, alors : $f(x_2)–f(x_1)<0$. Ce qui donne : $f(x_2)<f(x_1)$.
Les images sont rangées dans l’ordre contraire des antécédents.
Par conséquent, $f$ est strictement décroissante sur $\R$.

$\bullet$ Si $a=0$, alors : $f(x) = b$ pour tout $x\in\R$.
Par conséquent, la fonction $f$ est constante $\R$.

2. Tableaux de variations suivant le signe de $m$ :

  • 1er cas $m>0$ : La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$. Donc : $$\begin{array}{|r|ccc|}\hline
    x & -\infty & ~~~~~~~~~~~~ &+\infty\\ \hline & & & + \\
    f(x) & &\nearrow & \\ & – & & \\ \hline \end{array}$$
  • 2ème cas $m<0$ : La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$. Donc : $$\begin{array}{|r|ccc|}\hline
    x & -\infty & ~~~~~~~~~~~~ &+\infty\\ \hline & + & & \\
    f(x) & &\searrow & \\ & & & – \\ \hline\end{array}$$
  • 3ème cas $m<0$ : La fonction $f$ est constante sur $\R$. Donc : $$\begin{array}{|r|ccc|}\hline x & -\infty & ~~~~~~~~~~~~ &+\infty\\ \hline & & & \\
    f(x) & &\longmapsto & \\ & & & \\ \hline \end{array}$$

3. Exercices résolus

Exercices 1.
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x) = -3x+5$$
a) La fonction $f$ est-elle affine ou linéaire ?
b) La fonction $f$ est-elle croissantes ou décroissantes
c) Construire leur tableau de variation de la fonction $f$.
Justifier vos réponses.

a) Pour tout $x\in\R$ : $\boxed{\;f(x) = -3x+5\;}$, est de la forme : $f(x)=mx+p$ avec $m=-3$ et $p=+5$. Donc $f$ est une fonction affine de coefficient directeur $m=-3$.

b) Le coefficient directeur de la fonction $f$ est $m=-3<0$. Donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$.

c) Le coefficient directeur $m<0$, donc le tableau de variation de la fonction $f$ est donné par : $$\begin{array}{|r|ccc|}\hline
x & -\infty & ~~~~~~~~~~~~ &+\infty\\ \hline & + & & \\
f(x) & &\searrow & \\ & & & – \\ \hline\end{array}$$

Exercices 2.
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $$g(x)=7-\dfrac{2}{5}x$$
a) La fonction $g$ est-elle affine ou linéaire ?
b) La fonction $g$ est-elle croissantes ou décroissantes
c) Construire leur tableau de variation de la fonction $g$.
Justifier vos réponses.

a) Pour tout $x\in\R$ : $g(x)=7-\dfrac{2}{5}x=\boxed{\; -\dfrac{2}{5}x+7\;}$, est de la forme : $g(x)=mx+p$ avec $m=-\dfrac{2}{5}$ et $p=+7$. Donc $g$ est une fonction affine de coefficient directeur $m=-\dfrac{2}{5}$.

b) Le coefficient directeur de la fonction $g$ est $m=-\dfrac{2}{5}<0$. Donc la fonction $g$ est strictement décroissante sur $\R$.

c) Le coefficient directeur $m<0$, donc le tableau de variation de la fonction $g$ est donné par : $$\begin{array}{|r|ccc|}\hline
x & -\infty & ~~~~~~~~~~~~ &+\infty\\ \hline & + & & \\
g(x) & &\searrow & \\ & & & – \\ \hline\end{array}$$

Exercice 3.
Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par : $$h(x)=-2(x-2)+6x$$
a) La fonction $h$ est-elle affine ou linéaire ?
b) La fonction $h$ est-elle croissantes ou décroissantes
c) Construire leur tableau de variation de la fonction $h$.
Justifier vos réponses.

a) Pour tout $x\in\R$ : $h(x)=-2(x-2)+6x$. Il faut commencer par développer et réduire l’expression de $h(x)$. Pour tout $x\in\R$ : $h(x)=-2x+4+6x=\boxed{\;4x+4\;}$.
Donc, $h(x)$ est bien de la forme : $h(x)=mx+p$ avec $m=4$ et $p=+4$. Donc $h$ est une fonction linéaire de coefficient directeur $m=4$.

b) Le coefficient directeur de la fonction $f$ est $m=4>0$. Donc la fonction $h$ est strictement croissante sur $\R$.

c) Le coefficient directeur $m>0$, donc le tableau de variation de la fonction $h$ est donné par :$$\begin{array}{|r|ccc|}\hline
x & -\infty & ~~~~~~~~~~~~ &+\infty\\ \hline & & & + \\
h(x) & &\nearrow & \\ & – & & \\ \hline \end{array}$$

Exercice 4.
Soit $k$ la fonction définie sur $\R$ par : $$k(x)=\sqrt{2}x+3$$
a) La fonction $k$ est-elle affine ou linéaire ?
b) La fonction $k$ est-elle croissantes ou décroissantes
c) Construire leur tableau de variation de la fonction $k$.
Justifier vos réponses.

a) Pour tout $x\in\R$ : $\boxed{\;k(x)=\sqrt{2}x+3\;}$, est de la forme : $k(x)=mx+p$ avec $m=\sqrt{2}$ et $p=+3$. Donc $k$ est une fonction linéaire de coefficient directeur $m=\sqrt{2}$.

b) Le coefficient directeur de la fonction $k$ est $m=\sqrt{2}>0$. Donc la fonction $k$ est strictement croissante sur $\R$.

c) Le coefficient directeur $m>0$, donc le tableau de variation de la fonction $k$ est donné par : $$\begin{array}{|r|ccc|}\hline
x & -\infty & ~~~~~~~~~~~~ &+\infty\\ \hline & & & + \\
k(x) & &\nearrow & \\ & – & & \\ \hline \end{array}$$

Exercices 5.
Soit $\ell$ la fonction définie sur $\R$ par : $$\ell(x) =x^2+7x-x(x+2)-4$$
a) La fonction $\ell$ est-elle affine ou linéaire ?
b) La fonction $\ell$ est-elle croissantes ou décroissantes
c) Construire leur tableau de variation de la fonction $\ell$.
Justifier vos réponses.

a) Pour tout $x\in\R$ : $\ell(x) =x^2+7x-x(x+2)-4$.
Il faut commencer par développer et réduire l’expression de $\ell(x)$. Pour tout $x\in\R$ : $\ell(x)=x^2\!\!\!\! \color{brown}{/}+7x-x^2\!\!\!\! \color{brown}{/}-2x-4=\boxed{\;5x-4\;}$.
Donc, $\ell(x)$ est bien de la forme : $\ell(x)=mx+p$ avec $m=5$ et $p=-4$. Donc $\ell$ est une fonction linéaire de coefficient directeur $m=5$.

b) Le coefficient directeur de la fonction $\ell$ est $m=5>0$. Donc la fonction $\ell$ est strictement croissante sur $\R$.

c) Le coefficient directeur $m<0$, donc le tableau de variation de la fonction $\ell$ est donné par : $$\begin{array}{|r|ccc|}\hline
x & -\infty & ~~~~~~~~~~~~ &+\infty\\ \hline & & & + \\
\ell(x) & &\nearrow & \\ & – & & \\ \hline \end{array}$$