Équations différentielles

Dans cette section, nous introduisons la notion d’équation différentielle sur des cas simples. Les élèves découvrent en situation le concept d’équation dont l’inconnue est une fonction. L’équation $y’=ƒ$ est l’occasion de définir la notion de primitive. Nous abordons des équations différentielles linéaires du premier ordre, ainsi que des exemples d’équations différentielles non linéaires du premier ordre avec la méthode de variation de la constante.

1. Équations différentielles

1.1. Équation différentielle du premier et du second ordre

Définitions 1.
Une équation différentielle est une équation fonctionnelle, c’est-à-dire dont l’inconnue est une fonction dérivable $y$ de la variable $x\in I$, et qui relie $x$ à $y$ et au moins une de ses dérivées successives sur un intervalle $I$ de $\R$.
Une équation différentielle du premier ordre s’écrit sous la forme réduite : $\boxed{~y’=\phi(x,y)~}$ ou encore $\boxed{~y'(x)=\phi(x;y(x))~}$, où $\phi$ est une fonction, $y’$ est la dérivée première de $y$.
Une équation différentielle du deuxième ordre s’écrit sous la forme réduite : $\boxed{~y^”=\phi(x,y,y’)~}$, où $\phi$ est une fonction, $y’$ est la dérivée première de $y$ et $y^”$ sa dérivée seconde.

En particulier, l’équation qui s’écrit sous la forme réduite : $\boxed{~y’=ay+f~}$ où $a$ et $f$ sont deux fonctions continues de $x$ sur $I$, s’appelle une équation différentielle linéaire du premier ordre.
L’équation qui s’écrit sous la forme réduite : $ \boxed{~y^”=ay’+by+f~}$ où $a$, $b$ et $f$ sont des fonctions de $x$, s’appelle une équation différentielle linéaire du deuxième ordre ; et ainsi de suite.

Le terme $f(x)$, indépendant de $y$ et ses dérivées, une fois écrit à droite, s’appelle le second membre de l’équation différentielle.
Une équation différentielle avec $f(x)=0$, s’appelle une équation différentielle « sans second membre ».

1.2. Exemples

1°) L’équation différentielle la plus simple et que nous allons étudier en premier s’écrit (1) $y’=f$ ou encore $y’+0y=f$. C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre.

2°) Les équations différentielles qui s’écrivent (2) $y’-2y=5$ et (3) $y’+3y=x\e^x$ sont aussi des équations différentielles linéaires du premier ordre. L’équation $(4)~y’-y^2=5$ est une équation différentielle du premier ordre non linéaire.

3°) Les équations différentielle qui s’écrivent $(5)~y^”+\omega^2y=f$, $(6)~y^”-\omega^2y=f$ ($\omega\in\R$) et $(7)~y^”-4y’+3y=x\e^{2x}$ sont des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants.
Les équations différentielles sans second membre associées sont respectivement :
(5′)$~y^”+\omega^2y=0$, (6’$)~y^”-\omega^2y=0$ et (7′)$~y^”-4y’+3y=0$.

1.3 Remarques. Élément différentiel

Pour le calcul de la dérivée de $f$ en $a$, nous avons utilisé la limite du taux d’accroissement de $f$ en $a$. $$\tau_f(a; a+h)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ avec $h= \Delta x$ est une variation ou un accroissement de la variable indépendante $x$ et $\Delta y$ la variation ou l’accroissement correspondant de la variable dépendante $y=f(x)$.
Lorsque $h$ tend vers $0$, $\Delta x\not=0$ tend vers un élément infinitésimal de longueur noté $\d x$ qui correspondrait au pixel sur un écran d’ordinateur.
Pour résoudre des équations différentielles, on utilise souvent la notation suivante pour exprimer la dérivée d’une fonction $y$, comme limite du taux d’accroissement : $$\boxed{~~y’=\dfrac{\d y}{\d x}~~}$$ Cette notation, chère aux physiciens, donnera de bonnes techniques de résolution des équa-diff.
Elle exprime l’accroissement infiniment petit noté $\d y$ d’une fonction $y$ correspondant à un accroissement infiniment petit de la variable indépendante $\d x$.
Ainsi, $\d x$ désigne un élément infinitésimal de longueur, c’est-à-dire un déplacement ou une variation de longueur correspondant au plus petit élément de la résolution d’un écran par exemple. On dit que $\d x$ est un élément différentiel. D’où le nom d’équations différentielles.

2. Résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre

2.1. Méthode générale de résolution des équations différentielles linéaires

On considère l’équation différentielle $(E)$ : $y’=ay+f$, où $a$ et $f$ sont des fonctions continues de $x$ définies sur un intervalle $I$ de $\R$.

Résoudre l’équation différentielle $(E)$ signifie trouver toutes les fonctions dérivables $y$ définies sur l’intervalle $I$ et à valeurs dans $\R$ vérifiant l’égalité (*) pour tout $x\in I$ : $$y′(x)=a(x)y(x)+f(x)\qquad(*)$$

Nous allons voir qu’en général, pour résoudre les équations différentielles linéaires, nous procédons en trois étapes de la manière suivante :

  1. On appelle $y_G$ « LA » solution générale (qui donne toutes les solutions) de l’équation avec second membre (SGEASM) (E) : $y’=ay+f$.
  2. $y_P$ « UNE » solution particulière de l’équation avec second membre (SPEASM) (E) : $y’=ay+f$.
  3. et $y_0$ « LA » solution générale de l’équation homogène, sans second membre (SGESSM) (E_0) $y’-ay=0$,

Théorème 1.
On considère l’équation différentielle $(E)$ : $y’=ay+f$, où $a$ et $f$ sont des fonctions continues de $x$ définies sur un intervalle $I$ de $\R$.
Si $y_G$ et $y_P$ désignent respectivement « la » solution générale et « une » solution particulière de l’équation différentielle avec second membre $(E)$. Et si $y_0$ désigne « la » solution générale de l’équation différentielle sans second membre $(E_0)$ : $y’-ay=0$. Alors $$\boxed{~~y_G=y_0+y_P~~}$$

Par définition, $y_G$ est « la » solution générale de l’équation différentielle avec second membre $(E)$. Donc $$y’_G=ay_G+f~~(1)$$
De même, $y_P$ est « une » solution particulière de l’équation différentielle avec second membre $(E)$. Donc $$y’_P=ay_P+f~~(2)$$
En soustrayant membre à membre ces deux équations $(1)-(2)$, on obtient : $$y’_G-y’_P=ay_G+f-ay_P-f$$ Ce qui donne : $$(y_G-y_P)’=a(y_G-y_P)~~(3)$$ On pose $y_0= y_G-y_P$. Donc : $y’_0=ay_0$.
Par conséquent, la fonction $y_0= y_G-y_P$ est bien solution de l’équation différentielle sans second membre : $$(E_0)~: \quad y’-ay=0$$
Conclusion. D’après ce qui précède, on obtient : $$\boxed{~~y_G=y_0+y_P~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

2.2. Équation différentielle $y’=f$ et primitives

Théorème 2.
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$ admet une infinité de primitives sur cet intervalle.
Autrement dit. Pour toute fonction continue $f$ définie sur un intervalle $I$ de $\R$, l’équation différentielle $y’=f$ admet une infinité de solutions sur cet intervalle.

Exemples

Exercice résolu n°1.
Résoudre dans $\R$ les équations différentielles suivantes :
$(E_1)~~y’=x+1$ ;
$(E_2)~~2y’-2e^x=x+4$ ;
$(E_3)~~xy’+2x=\dfrac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$.

Corrigé.
1°) Résoudre dans $\R$ l’équation différentielle suivante : $(E_1)~~y’=x+1$.
1ère méthode
Pour tout $x\in\R$, on pose $f(x)=x+1$.
Pour résoudre l’équation différentielle $(E_1)~~y’=x+1$, il suffit de trouver une primitive $F$ de $f$ sur $\R$. Par exemple : $F(x)=\dfrac{x^2}{2}+x$. $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. Donc, $y=F$ est une solution particulière de l’équation $(E_1)$. Pour trouver « la » solution générale de l’équation différentielle $(E_1)$, il faut trouver « toutes » les primitives de $f$. Donc, la solution générale de l’équation différentielle $(E_1)$ est $$\boxed{~~y=F+C~~}$$ ou encore $$\boxed{~~y=\dfrac{x^2}{2}+x+C,~~C\in\R~~}$$

2ème méthode
Pour résoudre l’équation différentielle $(E_1)~~y’=x+1$, on peut suivre la méthode générale décrite dans le théorème 1.
L’équation sans second membre (ESSM) associée à l’équation $(E_1)$ est l’équation : $$(E_0)\quad y’=0$$ La solution générale de cette équation sans second membre (SGESSM) est : $$y_0=C,~~C\in\R$$ De plus une solution particulière de l’équation avec second membre (SPEASM) est une primitive $F$ de $f$ définie par : $$y_P=F(x)=\dfrac{x^2}{2}+x$$ La solution générale de l’équation avec second membre (SGEASM) est donc : $$\boxed{~~y_G=y_0+y_P~~}$$ donc : $$\boxed{~~y_G=\dfrac{x^2}{2}+x+C,~~C\in\R~~}$$

2°) Résoudre dans $\R$ l’équation différentielle suivante : $(E_2)~~2y’-2e^x=x+4$.
D’une manière analogue, l’équation différentielle $(E_2)~~2y’-2e^x=x+4$ est équivalente à : $$(E_2)~\Longleftrightarrow~ y’=\e^x+\dfrac{x}{2}+2$$ La solution générale de l’équation avec second membre (SGEASM) $(E_2)$ est donc : $$\boxed{~~y_G=\e^x+\dfrac{x^2}{4}+2x+C,~~C\in\R~~}$$

2°) Résoudre dans $\R$ l’équation différentielle suivante : $(E_3)~~xy’+2x=\dfrac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$
Pour tout $x\in]0;+\infty[$ : $x>0$, donc $x\not=0$. Donc, l’équation $(E_3)$ est équivalente à : $$(E_3)~\Longleftrightarrow~y’=-2+\dfrac{1}{x^2}~~\text{sur}~~]0;+\infty[$$ Comme dans l’exercice précédent, la solution générale de l’équation avec second membre (SGEASM) $(E_3)$ sur $]0;+\infty[$, est donc : $$\boxed{~~y_G=-2x-\dfrac{1}{x}+C,~~C\in\R~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

2.3. Équation différentielle $y’=ay$ (avec $f=0$)

Résolution de l’équation différentielle $y’=ay$, où $a$ est un nombre réel ; allure des courbes.

Théorème 3.
Soit $a$ un nombre réel non nul fixé. On considère l’équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre, $$\boxed{~(E_0)~:~y’=ay~}$$
1°) La somme de deux solutions et le produit d’une solution par une constante sont encore solutions de l’équation $(E_0)$.
2°) L’équation différentielle $(E_0)~:~y’=ay$ admet une infinité de solutions sur tout intervalle de $\R$ de la forme : $$\boxed{~y_0=C\e^{ax}~;~C=\text{Constante}}$$
3°) Les seules fonctions solutions de l’équation $(E_0)$ sont de la forme $y_0$.

On considère l’équation différentielle $ (E_0)~y’=ay$, $a$ une constante réelle non nulle.

1°a) Soient $y_1$ et $y_2$ deux solutions de l’équation différentielle $ (E_0)~y’=ay$.
On pose $y= y_1+y_2$. On a alors : $$\begin{array}{c}
y’_1=ay_1\\
y’_2=ay_2\\ \hline
y’_1+y’_2= ay_1+ay_2\\
(y’_1+y’_2)= a(y_1+y_2)\\
y’=ay\\ \end{array} $$ Nous avons additionné membre à membre les deux premières égalités.

Conclusion. La somme de deux solutions de l’équation $(E_0)$ est encore une solution de l’équation $(E_0)$.

1°b) Soient $y_1$ une solution de l’équation différentielle $(E_0)~y’=ay$.et $k\in\R$.
On pose $y= ky_1$. On a alors : $$\begin{array}{c}
y’_1=ay_1\\
ky’_1=kay_1\\
(ky_1)’=a(ky_1)\\
y’=ay\\ \end{array} $$ Nous avons multiplié les deux membres de l’égalité par $k$.
Conclusion. Le produit d’une solution de l’équation $(E_0)$ par une constante est encore une solution de l’équation $(E_0)$.

2°) Résolution de l’équation différentielle $ (E_0)~y’=ay$.
1er cas. Si $y=0$.
La fonction nulle, $y’=0$. Donc, la fonction nulle est une solution de l’équation $(E_0)$.

2ème cas. Si $y\not=0$.
La fonction $y$ ne s’annule pas, donc elle garde un signe constant. Donc, pour tout $x\in R$, $y(x)>0$ ou $y(x)<0$. Or si $y$ est solution de $(E_0)$, $-y$ est aussi solution de $(E_0)$. Par conséquent : $y$ garde un signe constant sur $\R$.

Comme $y\not=0$, on peut diviser par $y$. On a alors $$(E_0)~ y’=ay\Leftrightarrow \dfrac{y’}{y}=a$$
Or $ \dfrac{y’}{y} = (\ln \abs{y})’$. En prenant les primitives à gauche et à droite par rapport à $x$, elle diffèrent d’une constante. On obtient alors : $\ln\abs{y}=ax+K$, où $K$ est une constante réelle.
Or, on sait que $a=b \Leftrightarrow \e^a=\e^b$. Ce qui donne : $\e^{\ln\abs{y}}=\e^{ax+K}$. D’où : $\abs{y}=\e^{ax} \times \e^K$.
On pose alors : $C=\e^K$. $C$ est une constante réelle positive. D’où : $$\abs{y}=C\e^{ax}$$
On peut étendre ce résultat, en supprimant la valeur absolue et $C\in\R$. On obtient : $$\boxed{~~y=C\e^{ax} ~;~C\in\R~~}$$

2°) Réciproquement.
Montrons que les seules fonctions solutions de l’équation $E_0)$ sont de la forme $y_0$
Supposons, que $C$ n’est pas une constante.

Donc $C$ dépend de $x$. On peut donc supposer que $C$ est une fonction de $x$. On écrit alors : $y_0(x)=C(x)\e^{ax}$. On a alors : $$\begin{array}{rcl}
y’_0(x) &=&C'(x)\e^{ax} + C(x)\times a\e^{ax} \\
y’_0(x) &=& (C'(x)+aC(x))\e^{ax} \\
\end{array}$$ Mais alors, pour tout $x\in\R$ :
$$\begin{array}{rcl}
(E_0)&\Leftrightarrow& y’_0(x)=ay(x) \\
&\Leftrightarrow & (C'(x)+aC(x))\e^{ax}=aC(x)\e^{ax}\\
\end{array}$$
Comme pour tout $x\in\R$ : $\e^{ax}\not=0$, on peut simplifier par $\e^{ax}$. On obtient : $$\begin{array}{rcl}
(E_0) &\Leftrightarrow & C'(x)+aC(x)=aC(x) \\
&\Leftrightarrow &C'(x)=0\\
\end{array}$$
Or, par hypothèse, nous avons supposé que $C$ n’est pas constante. Ce qui est absurde.

Conclusion.La fonction $C$ est constante. Donc les seules fonctions solutions de l’équation $E_0)$ sont de la forme : $$\boxed{~y_0=C\e^{ax}~;~C~=\text{Constante}}$$ CQFD.$\blacktriangle$

Exercice résolu n°2.
Résoudre les équations différentielles suivantes sur $\R$ :
$(E_1)~~y’=2y$ ;
$(E_2)~~2y’+3y=0$.

Corrigé.
1°) Résoudre dans $\R$ l’équation différentielle suivante : $(E_1)~~y’=2y$.
$(E_1)$ est une équation différentielle linéaire sans second membre (SGESSM).
La solution générale de cette équation est : $$\boxed{~~y_0=C\e^{2x}~~}$$
2°) Résoudre dans $\R$ l’équation différentielle suivante : $(E_2)~~2y’+3y=0$.
On commence par la transformer sous la forme $y’=ay$. On a : $$(E_2)~\Longleftrightarrow~y’=-\dfrac{3}{2}y$$ Donc, d’après le théorème 3 du cours, la solution générale de cette équation est : $$\boxed{~~y_0=C\e^{-\frac{3}{2}x}~~}$$
CQFD.$\blacktriangle$

2.4. Équation différentielle $y’=ay+b$ où $a\in\R^*$, $b\in\R$.

Théorème 4.
Soit $a$ un nombre réel non nul fixé. On considère l’équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre, $$\boxed{~(E):~y’-ay=b;~ a\in\R,~ b\in\R~}$$
Cette équation différentielle admet une infinité de solutions sur tout intervalle de $\R$ de la forme : $$\boxed{~~y=C\e^{ax}-\dfrac{b}{a}~;~C=\text{Constante}~~}$$

Pour une équation différentielle $y’=ay+b$, ($a\not=0$ et $b\in\R$) :
— Déterminer toutes les solutions $y_0$ de l’équation sans second membre (d’après le cours, théorème 2.)
— Déterminer une solution particulière $y_P=$ constante de l’équation avec second membre ;
— Donner la solution générale (qui donne toutes les solutions) de l’équation avec second membre avec la formule : $$y_G=y_0+y_P.$$

1ère étape. SGESSM
D’après le cours, la solution générale de l’équation sans second membre est : $$y_0=C\e^{ax}$$

2ème étape. SPEASM
Soit $k\in\R$. On cherche pour quelle valeur de $k$, la fonction constante $y=k$ est une solution particulière de l’équation avec second membre. On a alors : $$\begin{array}{rcl}
y’=ay+b&\Leftrightarrow& 0=ak+b\\
&\Leftrightarrow & k=-\dfrac{b}{a}\\ \end{array}$$
Conclusion. Une solution particulière de l’équation avec second membre $(E)$ est : $$y= -\dfrac{b}{a}$$

3ème étape. SGEASM
D’après le cours, nous savons que la solution générale de l’équation avec second membre est $y_G=y_0+y_P$. Donc : $$\boxed{~y=C\e^{ax}-\dfrac{b}{a}~;~C=\text{Constante}}$$ CQFD.$\blacktriangle$

2.5. Équation différentielle $y’=ay+f$ où $a\in\R$ et $f$ une fonction

Théorème 5.
Soit $a$ un nombre réel non nul fixé. On considère l’équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre, $$\boxed{~(E)~:~y’=ay+f;~ a\in\R~}$$ et $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ de $\R$.
Soit $y_P=g$ une solution particulière de l’équation $(E)$ sur l’intervalle $I$. Alors, l’équation différentielle $(E)$ admet une infinité de solutions sur l’intervalle $I$, de la forme : $$\boxed{~y=C\e^{ax}+g(x)~;~C=\text{Constante}}$$

Pour une équation différentielle $y’=ay+f$, $a\not=0$ et $f$ une fonction continue sur$~I$.

1ère étape. SGESSM
D’après le cours, la solution générale de l’équation sans second membre est : $$y_0=C\e^{ax}$$

2ème étape. SPEASM
Soit $g$ une solution particulière de l’équation avec second membre. $$y_P=g$$
En classe de Terminale, la fonction $g$ est généralement donnée. Il suffit de vérifier que $g$ est une solution particulière de l’équation avec second membre. Il suffit de remplacer.

Sinon, on vous donnera les étapes pour déterminer l’expression de $g(x)$.
En général $g$ ressemble à une primitive de $f$.
— Si $f$ est une constante, $g$ est une constante ou un polynôme de degré$~1$.
— Si $f$ est le produit d’un polynôme par une exponentielle, $g$ est du même type,
— etc.

3ème étape. SGEASM
D’après le cours, nous savons que la solution générale de l’équation avec second membre est $y_G=y_0+y_P$. Donc : $$\boxed{~y=C\e^{ax} +g(x)~;~C=\text{Constante}}$$ CQFD.$\blacktriangle$

2.6. Exercices modèles au BAC

Sujet 0. 2021.
Polynésie Sujet 2. 2021.
Asie. Sujet 1. 2021.
Asie. Sujet 2. 2021.
Métropole. Sujet 1. 2021.
Centres étrangers. Sujet 1. 2021.
Centres étrangers. Sujet 2. 2021.

3. Approfondissement

Pour travailler le concept d’équation différentielle, on peut donner d’autres exemples
d’équations différentielles, dont on peut donner des solutions sans en faire de résolution
complète : $y’ = y^2$, $y^”+\omega^2 y = 0$. Aucune connaissance n’est exigible sur ces exemples.

3.1. Équation de Bernoulli $y’=y^2$

On considère l’équation différentielle non linéaire : $(E)~y’=y^2$.

1er cas. Si $y=0$.
Si $y$ est la fonction nulle, $y’=0$. Donc, la fonction nulle est une solution de l’équation $(E)$.

2ème cas. $y\not=0$
La fonction $y$ ne s’annule pas sur l’intervalle $I$.
On effectue un changement de fonction inconnue. On pose $z(x)=\dfrac{1}{y(x)}$. Donc : $z'(x)=-\dfrac{y'(x)}{y^2(x)}$.
Comme $y(x)\not=0$, en divisant les deux membres par $-y^2(x)$, on obtient l’équation différentielle équivalente : $$(E_2)~:~ -\dfrac{y'(x)}{y^2(x)}=-1 $$
ou encore : $$z’=-1$$
Ce qui équivaut à dire : $z(x)=-x+C$ ou encore : $z(x)=C-x$.
On revient à la fonction $y$, à l’aide du changement de fonction $y(x)=\dfrac{1}{z(x)}$. Ce qui pose un problème de définition.

La fonction $y$ doit être définie et dérivable sur l’intervalle $I$.
La fonction $y$ n’est pas définie en $x=C$.
Pour chaque constante $C$, on doit exclure $x=C$ du domaine de définition et donner une solution par intervalle de définition.

Conclusion. Pour tout intervalle de la forme $I_1=]-\infty;C[$ ou $I_2=]C;+\infty[$, l’équation $(E)$ admet une solution de la forme : $$\boxed{~~y(x)=\dfrac{1}{C-x}~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

3.2. Équation du mouvement sinusoïdal $y^”+\omega^2y=0$

Soit $\omega\in\R$. On considère l’équation différentielle : $y^”+\omega^2y=0$, où $y$ est une fonction du temps $t$, deux fois dérivable sur $\R$.
Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre et à coefficients constants.

1ère étape. Résolution de l’équation linéaire sans second membre.

L’équation $(E)$ est déjà une équation différentielle linéaire sans second membre.

Les solutions d’une équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre sont de la forme $y=Ce^{\lambda t}$ où $\lambda \in\R$ donné et $C\in\R$.

On sait que si $y_1$ et $y_2$ sont deux solutions d’une équation différentielle linéaire sans second membre, alors toute combinaison linéaire de $y_1$ et $y_2$ est encore solution de cette équation.

Cherchons donc des solutions du type $y_1=\e^{\lambda t}$ correspondant à $C=1$.

Nous avons d’une part : $y’_1=\lambda \e^{\lambda t}$ et $y^”_1=\lambda^2\e^{\lambda t}$.

Et d’autre part, comme $y_1$ est solution de $(E)$ on obtient pour tout $t\in\R$ : $$\lambda^2\e^{\lambda t}+\omega^2 \e^{\lambda t} =0$$
Or pour tout $t\in\R$ : $\e^{\lambda t}\not=0$. On peut donc simplifier l’équation et obtenir : $$ \lambda^2+\omega^2=0$$
Si $\omega\not=0$ Cette équation d’inconnue $\lambda$ n’admet aucune solution réelle.
On pourrait s’arrêter là ! Eh beh NON !

Cette équation admet deux solutions complexes $$\lambda_1=i\omega~~\text{et}~~ \lambda_2=-i\omega~~\text{avec}~~i^2=-1. $$
Par conséquent, l’équation $(E)$ admet des solutions complexes de la forme : $$\boxed{~z_1(t)=C_1\e^{i\omega t}~\text{et}~z_2(t)=C_2\e^{-i\omega t}~}$$ qui sont deux solutions « indépendantes ».

2ème étape. Recherche de solutions réelles

Utilisons les formules d’Euler pour exprimer le cosinus et le sinus en fonction de l’exponentielle complexe.
$$\cos(\alpha)=\dfrac{\e^{i\alpha}+ \e^{-i\alpha}}{2}~~\text{et}~~ \sin(\alpha)=\dfrac{\e^{i\alpha}-\e^{-i\alpha}}{2i} $$
$\cos$ et $\sin$ sont des combinaisons linéaires de $z_1$ et $z_2$. Donc elles sont des solutions réelles et indépendantes. On peut le vérifier directement par le calcul.
Par conséquent, L’équation $(E)$ admet des solutions réelles de la forme : $$\boxed{~y_1(t)=A\cos(\omega t)~\text{et}~y_2(t)=B\sin(\omega t)~}$$ qui sont deux solutions « indépendantes ».

Conclusion. La solution générale $y$ de l’équation $(E)$ peut s’exprimer comme une combinaison quelconque de ces deux fonctions. $$\boxed{~y=A\cos(\omega t)+B \sin(\omega t)~}$$

3ème étape. Simplification et réduction de la solution générale

On sait que $y=0$ est une solution de l’équation $(E)$ qui correspond à $A=0$ et $B=0$.
On cherche à exprimer les solutions non nulles sous une forme plus réduite.
Supposons que $A\not=0$ ou $B\not=0$.
On pose $C=\sqrt{A^2+B^2}$. Donc : $C\not=0$. On peut donc écrire $y$ sous la forme :
$$y(t)= \sqrt{A^2+B^2}\left[\dfrac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}\cos(\omega t)+ \dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \sin(\omega t) \right]$$ ou encore $$y(t)= C\left[\dfrac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}\cos(\omega t)+ \dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin(\omega t)\right]$$
Or $-1\leqslant \dfrac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}\leqslant1$ et $-1\leqslant \dfrac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}}\leqslant1$. De plus $$\left( \dfrac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}} \right)^2+ \left( \dfrac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}} \right)^2 =1$$
Par conséquent, il existe un réel $\varphi\in]-\pi;+\pi]$ tel que $$\sin\varphi= \dfrac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}~\text{et}~\cos\varphi=\dfrac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}}$$
Ce qui donne : $$y=C\left(\sin\varphi\cos(\omega t)+\sin(\omega t)\cos\varphi\right)$$
Or on connaît nos formules trigonométriques pour calculer le sinus de $(a+b)$ : $$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$$
Par conséquent, on obtient une forme réduite de $y$ comme suit : $$y=C\sin(\omega t+\varphi)$$
Conclusion. La solution générale de l’équation différentielle linéaire du second ordre et à coefficients constants $y^”+\omega^2y=0$, exprimée sous une forme réduite est : $$\boxed{~y=C\sin(\omega t+\varphi)~}$$

3.3. Équation logistique

Cours du Professeur Daniel PERRIN. Université de Paris-Sud Orsay Référence (à consulter)

Il s’agit de l’équation différentielle $$y′=ay(m − y)$$ où $a$ et $m$ sont des constantes positives et $y$ une fonction inconnue de la variable $t$. C’est une équation non linéaire du premier ordre.

Leonhard EULER (1707-1783)

En 1760, Euler calcule la population d’une ville ou d’une province pour une certaine année. Si on appelle $p_n$, la population l’année $n$ (temps discret). Il obtient une formule de récurrence $$p_{n+1} = \lambda p_n$$ qui conduit à une suite géométrique avec une raison $\lambda>1$. Ce qui donne une croissance rapide.

On peut aussi donner un modèle en temps continu du phénomène en postulant que l’accroissement de population $p'(t)$ est proportionnel à $p(t)$. On obtient une équation différentielle linéaire du premier ordre : $$p'(t) = \lambda p(t)$$ dont la solution est une fonction exponentielle $p(t)=C\e^{\lambda t}$.

Qualitativement, il n’y a pas une différence essentielle entre le modèle discret et le modèle continu.

Pierre François Verhulst (1804-1849)

En 1837, Verhulst propose un modèle dit « logistique » qui prend en compte la limitation de la population.
Le principe est simple : l’accroissement de la population n’est proportionnel à la population que pour les petites valeurs de celle-ci. Lorsqu’elle croît, des facteurs limitants apparaissent (place ou quantité de nourriture disponible, etc.) qui font qu’il y a une population maximale $m$. Verhulst postule alors que l’accroissement $y'(t)$ de la population $y$ est proportionnel à la quantité $y(t)(m − y(t))$.
L’équation logistique peut donc s’écrire : $$y'(t)=ay(t)(m − y(t))$$

Résolution de l’équation logistique

Méthode : Changement de fonction inconnue.
On considère l’équation différentielle : $$(E_1)~~y′(t)=ay(t)(m − y(t))$$
Comme $y$ ne s’annule pas, on peut poser $z(t) =\dfrac{1}{y(t)}$. Donc : $z'(t)=-\dfrac{y'(t)}{y^2(t)}$.
Comme $y(t)\not=0$, en divisant les deux membres par $y^2(t)$, on obtient l’équation différentielle équivalente : $$(E_2)~~z’+amz=a$$
C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre en $z$ de la forme « $y’=ay+b$ » que nous savons résoudre.

D’après notre cours, la solution générale de l’équation avec second membre est : $$z=C\e^{-amt}+\dfrac{1}{m}$$

On revient à la fonction $y$, avec $y(t)=\dfrac{1}{z(t)} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{m}+C\e^{-amt}}$. Après simplification, en posant $K=mC$, on obtient : $y(t)=\dfrac{m}{1+K\e^{-amt}}$.
Conclusion. L’équation différentielle $(E_1)~y′(t)=ay(t)(m − y(t))$ admet une infinité de solutions : $$\boxed{~y(t)=\dfrac{m}{1+K\e^{-amt}}~}$$

On retrouve la solution constante $y=m$ en prenant $K=0$. La solution $y=0$ correspondrait au cas $K=\infty$.
Voir l’article pour l’allure des courbes solutions.
CQFD.$\blacktriangle$

On peut également, pour la culture mathématique, voir un système de deux équations de prédation de Lotka-Volterra. « modèle proie-prédateur »

Équations de prédation ou « modèle proie-prédateur » de Lotka-Volterra

Autres équa-diff à étudier

à compléter

Exemple d’algorithme

Résolution par la méthode d’Euler de $y’=ƒ$, de $y’=ay+b$.

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