Résolution d’une équation de la forme $z^2=a$, $a\in\R$

L’équation $z^2=0$ admet une solution unique $z=0$, dans $\C$ et $$\boxed{~{\mathcal S}=\{0\}~}$$ Donc, on peut supposer que $a\not=0$.

Théorème 1.
Soit $a\in\R$. Pour résoudre l’équation $(E)~$: $z^2=a$, on distingue trois cas :
$\bullet~~$ Si $a=0$, alors l’équation $z^2=0$ admet une solution unique $z=0$ dans $\C$ et $$\boxed{~{\mathcal S}=\{0\}~}$$ $\bullet~~$ Si $a>0$, alors l’équation $z^2=a$ admet deux solutions $z_1=-\sqrt{a}$ et $z_2=\sqrt{a}$. $$\boxed{~{\mathcal S}_a=\{-\sqrt{a}~;~\sqrt{a}\}~}$$ $\bullet~~$ Si $a<0$, alors l’équation $z^2=a$ admet deux solutions $z_1=-\i\sqrt{-a}$ et $z_2=\i\sqrt{-a}$. $$\boxed{~{\mathcal S}_a=\left\{-\i\sqrt{\abs{a}}~;~\i\sqrt{\abs{a}}\right\}~}$$

1er cas : $a>0$
$(E)~\Leftrightarrow~z^2=a~\Leftrightarrow~z^2-a=0$
On écrit $a=(\sqrt{a})^2$. Et on utilise l’identité remarquable n°3 pour factoriser cette expression. $$\begin{array}{rl}
z^2-a=0&\Leftrightarrow~~z^2-(\sqrt{a})^2=0\\
&\Leftrightarrow~~(z+\sqrt{a})(z-\sqrt{a})=0\\ \end{array}$$ On obtient une équation produit-nul. Or, dans $\C$, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un au moins de ses facteurs est nul. Donc : $$(E)~\Leftrightarrow~z+\sqrt{a}=0~\text{ou}~z-\sqrt{a}=0$$ Ce qui donne : $$z=-\sqrt{a}~\text{ou}~z=\sqrt{a}$$
Conclusion. Si $a>0$, l’équation $z^2=a$ admet deux solutions et : $$\boxed{~{\mathcal S}_a=\{-\sqrt{a}~;~\sqrt{a}\}~}$$

2ème cas : $a<0$
$(E)~\Leftrightarrow~z^2=a~\Leftrightarrow~z^2-a=0$
On écrit $a=(\i\sqrt{-a})^2$, qu’on peut écrire également : $a=(\i\sqrt{\abs{a}})^2$. Et on utilise l’identité remarquable n°3 pour factoriser cette expression. $$\begin{array}{rl}
z^2-a=0&\Leftrightarrow~~z^2-(\i\sqrt{\abs{a}})^2=0 \\
&\Leftrightarrow~~(z+\i\sqrt{\abs{a}})(z-\i\sqrt{\abs{a}})=0\\ \end{array}$$
On obtient une équation produit-nul. Or, dans $\C$, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un au moins de ses facteurs est nul. Donc : $$(E)~~\Leftrightarrow~z+\i\sqrt{-a}=0~~\text{ou}~~z-\i\sqrt{-a}=0$$ Ce qui donne : $$z=-\i\sqrt{-a}~~\text{ou}~~z=\i\sqrt{-a}$$
Conclusion. Si $a<0$, l’équation $z^2=a$ admet deux solutions et : $$\boxed{~{\mathcal S}_a=\left\{-\i\sqrt{\abs{a}}~;~\i\sqrt{\abs{a}}\right\}~}$$

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1. Résolution d’une équation du second degré

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels données, $a\neq 0$.
Soit $P$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\C$ par : $P(z)=az^2+bz+c$.
Résoudre l’équation $az^2+bz+c=0$, c’est-à-dire $P(z)=0$, revient à déterminer, s’il en existe, tous les nombres complexes pour lesquels cette égalité est vraie.
Rechercher les solutions de l’équation $P(z)=0$ revient à déterminer les racines du polynôme $P(z)$.

Définition 1.
Soit $P$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\C$ par : $P(z)=az^2+bz+c$.
On appelle discriminant du trinôme du second degré $P$, le nombre $$\boxed{~~\Delta=b^2-4ac~~}$$

Théorème 2.
On considère l’équation du second degré $(E)$ : $az^2+bz+c=0$ (avec $a\neq 0$).
On pose $\boxed{~\Delta=b^2-4ac~}$. Alors, on distingue trois cas :
1er cas : $\Delta>0$. L’équation $(E)$ admet deux solutions réelles distinctes : $$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\;\textrm{et}\; x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ 2ème cas : $\Delta=0$. L’équation $(E)$ admet une seule solution réelle : $$x_0=-\dfrac{b}{2a}$$ On dit que $x_0$ est une solution double de cette équation ;

3ème cas : $\Delta<0$. L’équation $(E)$ admet deux solutions complexes conjuguées : $$z_1=\dfrac{-b-\i\sqrt{\abs{\Delta}}}{2a}\;\textrm{et}\; z_2=\dfrac{-b+\i\sqrt{\abs{\Delta}}}{2a}$$

Pour tout $z\in\C$ : $$\begin{array}{rl}
(E) &\Leftrightarrow az^2+bz+c =0 \\
&\Leftrightarrow a\left[z^2+ \dfrac{b}{a}z+ \dfrac{c}{a} \right]=0
\qquad(a\neq 0)\\ \end{array}$$ Et puisque $a\neq 0$, cette équation est équivalente à : $$\begin{array}{rcl}
(E) & \Leftrightarrow & z^2+2\times \dfrac{b}{2a}z+ \dfrac{c}{a}=0 \\
& \Leftrightarrow & \underbrace{\color{brown}{z^2+2\times \dfrac{b}{2a}z+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2}}_{\textrm{Identité remarquable}}- \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+ \dfrac{c}{a} =0 \\
& \Leftrightarrow & \left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2- \dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{4ac}{4a^2}=0 \\
& \Leftrightarrow & \left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2- \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}=0 \quad(*) \\ \end{array}$$ On pose alors : $\boxed{~\Delta=b^2-4ac~}$. Ce qui permet de simplifier l’équation $(*)$. On obtient : $$\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2- \dfrac{\Delta}{4a^2}=0\quad(*)$$
On distingue alors trois cas, suivant le signe de $\Delta$ :

1er cas : $\Delta > 0$. L’équation $(*)$ s’écrit : $$\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2- \left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2=0\quad(*)$$
Grâce à l’identité remarquable I.R.n°3, on peut factoriser l’équation (*) comme suit :
$$\left(z+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(z+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=0$$
D’après le théorème du produit nul (Th.P.N), cette équation admet deux solutions réelles distinctes :
$$z_1=-\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}~~\textrm{et}~~ z_2=-\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ou encore : $$\boxed{~z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~}~~\textrm{et}~~\boxed{~z_2= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}~} \quad z_1, z_2\in\R$$

2ème cas : $\Delta= 0$. L’équation $(*)$ s’écrit : $$\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0$$ Donc $$\left(z+\dfrac{b}{2a}\right) \left(z+\dfrac{b}{2a}\right) = 0$$ D’après le théorème du produit nul (Th.P.N), cette équation admet une seule solution réelle comptée deux fois. C’est une solution réelle double : $$\boxed{~z_0=-\dfrac{b}{2a}~}\quad z_0\in\R$$

3ème cas : $\Delta< 0$. L’équation $(*)$ s’écrit : $$\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$$ Comme $\Delta<0$, on écrit $\Delta=\left(\i\sqrt{-\Delta}\right)^2$, qu’on peut écrire également : $a=\left(\i\sqrt{\abs{\Delta}}\right)^2$.
Grâce à l’identité remarquable I.R.n°3, on peut factoriser l’équation (*) comme suit :
$$\left(z+\dfrac{b}{2a}+\i\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right) \left(z+\dfrac{b}{2a}+\i\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)=0$$
D’après le théorème du produit nul (Th.P.N.) dans $\C$, cette équation admet deux solutions complexes distinctes :
$$z_1=-\dfrac{b}{2a}-\i\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2a}~~\textrm{et}~~ z_2=-\dfrac{b}{2a}+\i\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$$ ou encore :
$$\boxed{~z_1=\dfrac{-b-\i\sqrt{\abs{\Delta}}}{2a}~}~~\textrm{et}~~
\boxed{~z_2=\dfrac{-b+\i\sqrt{\abs{\Delta}}}{2a}~}$$ On remarque que $z_2=\overline{z_1}$. Par conséquent, si $\Delta<0$, l’équation (*) admet deux solutions complexes conjuguées (non réelles).
CQFD.$\blacktriangle$

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Remarque importante

Lorsqu’on remplace $\Delta$ par 0 dans le premier cas, on obtient :
$$\begin{array}{rcl}
x_1=\dfrac{-b+\sqrt{0}}{2a} &=& \color{brown}{-\dfrac{b}{2a} =x_0}\\
\text{et}\quad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{0}}{2a} &=& \color{brown}{-\dfrac{b}{2a} =x_0}
\end{array}$$

Ainsi, les formules obtenues pour $\Delta > 0$ se généralisent à $\Delta=0$.

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Résoudre l’équation suivante dans $\C$ :
$(E_1)$ : $z^2+3=0$ ;

Résolution de l’équation : $(E_1)$ : $z^2+3=0$.

1ère méthode.
Nous devons d’abord identifier les coefficients : $a=1$, $b=0$ et $c=3$.
Calculons le discriminant $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=0^2-4\times 1\times 3$.
Ce qui donne $\boxed{~\Delta=-12 ~}$.
$\Delta<0$. Donc, l’équation $(E_1)$ admet deux solutions complexes conjuguées.
$z_1=\dfrac{-b-\i\sqrt{\abs{\Delta}}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\i\sqrt{\abs{\Delta}}}{2a}$.
$z_1=\dfrac{-0-\i\sqrt{12}}{2\times1}$ et $z_2=\dfrac{-0-\i\sqrt{12}}{2\times1}$
ou encore : $z_1=\dfrac{-2\i\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\dfrac{2\i\sqrt{3}}{2}$.
Ce qui donne : $z_1=-\i\sqrt{3}$ et $z_2=+\i\sqrt{3}$.
Conclusion. Cette équation admet deux solutions complexes conjuguées et : $$\boxed{~{\mathcal S}=\{-\i\sqrt{3}~;~\i\sqrt{3}\}~}$$

2ème méthode :
L’équation $(E_1)$ est de la forme $z^2=a$, avec $a<0$.
$$\begin{array}{rl}(E_1) :~~z^2+3=0&\Leftrightarrow~z^2=-3\\ &\Leftrightarrow~z^2=(\i\sqrt{3})^2\\
&\Leftrightarrow~z=-\i\sqrt{3}~~\text{ou}~~z=\i\sqrt{3}\\ \end{array}$$
Conclusion. Cette équation admet deux solutions complexes conjuguées et : $$\boxed{~{\mathcal S}=\{-\i\sqrt{3}~;~\i\sqrt{3}\}~}$$

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Exercice résolu n°2. Résoudre l’équation suivante dans $\C$ :
$(E_2)$ : $z^2+3z +4=0$.

Résolution de l’équation : $(E_2)$ : $x^2+3 x +4=0$.
Nous devons d’abord identifier les coefficients : $a=1$, $b=3$ et $c=4$.
Calculons le discriminant $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=3^2-4\times 1\times 4$.
$\Delta=9-16$. Ce qui donne $\boxed{~\Delta=-7 ~}$.
$\Delta<0$. Donc, l’équation $(E_2)$ admet deux solutions complexes conjuguées.
$z_1=\dfrac{-b-\i\sqrt{\abs{\Delta}}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\i\sqrt{\abs{\Delta}}}{2a}$.
$z_1=\dfrac{-3-\i\sqrt{7}}{2\times1}$ et $z_2=\dfrac{-3-\i\sqrt{7}}{2\times1}$
ou encore : $z_1=\dfrac{-3-\i\sqrt{7}}{2}$ et $z_2=\dfrac{-3-\i\sqrt{7}}{2}$.
Conclusion. L’équation $(E_2)$ admet deux solutions complexes conjuguées et :
$$\boxed{~{\mathcal S}=\left\{\dfrac{-3-\i\sqrt{7}}{2}~;~\dfrac{-3+\i\sqrt{7}}{2}\right\}~}$$

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Exercice résolu n°3. On considère la fonction polynôme $P$ définie pour tout $z\in\C$ par $$P(z)=z^3-(2+2\i)z^2+(3+4\i)z-6\i$$ 1°) Démontrer que $P(z)$ admet une racine $z_0$ imaginaire pure et calculer $z_0$.
2°) Résoudre dans $\C$ l’équation $P(z)=0$.

1°) Montrons que $P(z)$ admet une racine $z_0$ imaginaire pure.
On pose $z_0=\i y$. On a alors : $$\begin{array}{rl} &P(z_0)=0\\
&\Leftrightarrow~(\i y)^3-(2+2\i)(\i y)^2+(3+4\i)(\i y)-6\i=0\\
&\Leftrightarrow~-\i y^3+(2+2\i)y^2+(3+4\i)\i y-6\i=0\\ &\Leftrightarrow~-\i y^3+2y^2+2\i y^2+3\i y-4 y-6\i=0\\ &\Leftrightarrow~(2y^2-4y) +
\i\left(-y^3+2y^2+3y-6\right)=0\\ &\Leftrightarrow~2y^2-4y=0~~\text{et}~-y^3+2y^2+3y-6=0\\ \end{array}$$ car, un nombre complexe est nul si, et seulement si, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
Or $2y^2-4y=0\Leftrightarrow 2y(y-2)=0 \Leftrightarrow y=0~\text{ou}~y=2$.
On vérifie si ces deux valeurs sont solutions de la deuxième équation :
$\bullet~$ Pour $y=0$ : $-0^3+2\times0^2+3\times0-6 = -6\not=0$.
Donc, $y=0$ n’est pas solution de la 2ème équation.
$\bullet~$ Pour $y=2$ : $-2^3+2\times2^2+3\times2-6$ $=-8+8+6-6=0$.
Donc, $y=2$ est solution de la 2ème équation.
Par conséquent $y=2$ est solution des deux équations.
Conclusion. L’équation $P(z)=0$ admet une solution imaginaire pure $z_0$. Donc le polynôme $P$ admet une racine imaginaire pure et : $$\boxed{~z_0=2\i~}$$


2°) Résolution de l’équation : $P(z)=0$.
D’après la question précédente, $P(z_0)=0$. Donc $P(z)$ se factorise par $(z-z_0)$. Donc, il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $$P(z)=(z-2\i)(az^2+bz+c)$$
a) Recherche de $a$, $b$ et $c$.
$\bullet$ On développe et on réduit $P(z)$.
$P(z)=az^3+bz^2+cz-2\i az^2-2\i bz-2\i c$
$P(z)=az^3+(b-2\i a)z^2+(c-2\i b)z-2\i c$
$\bullet$ Maintenant, par identification avec l’expression développée réduite de $P(z)$, on obtient : $\left\{\begin{array}{rl}
a&=1\\ b-2\i a &=-2-2\i \\ c-2\i b&=3+4\i\\ -2\i c&=-6\i \\ \end{array}\right.$
Donc :
$\left\{\begin{array}{rl}
a&=1\\ b-2\i &=-2-2\i \\ c&=3~\text{et}~b=-2\\ c&=3\\
\end{array}\right.$
Par conséquent : $a=1$, $b=-2$ et $c=3$. Ce qui donne $$\boxed{~P(z)=(z-2\i)(z^2-2z+3)~}$$
b) Résolution de l’équation : $P(z)=0$.
$P(z)=0$ $\Leftrightarrow~(z-2\i)(z^2-2z+3)=0$ $\Leftrightarrow~z-2\i=0$ ou $z^2-2z+3=0$.
On résout l’équation du second degré $(E)$ : $z^2-2z+3=0$. Calculons le discriminant $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=(-2)^2-4\times1\times3$.
$\Delta=4-12$. Ce qui donne $\boxed{~\Delta=-8 ~}$.
$\Delta<0$. Donc, l’équation $(E)$ admet deux solutions complexes conjuguées.
$z_1=\dfrac{-b-\i\sqrt{\abs{\Delta}}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\i\sqrt{\abs{\Delta}}}{2a}$.
$z_1=\dfrac{2-\i\sqrt{8}}{2\times1}$ et $z_2=\dfrac{2+\i\sqrt{8}}{2\times1}$
Donc : $z_1=\dfrac{2-2\i\sqrt{2}}{2}$ et $z_2=\dfrac{2+2\i\sqrt{2}}{2}$.
Par conséquent, L’équation $(E_2)$ admet deux solutions complexes conjuguées : $z_1=1-\i\sqrt{2}$ et $z_2=1+\i\sqrt{2}$
Conclusion. L’équation $P(z)=0$ admet trois solutions complexes et :
$$\boxed{~{\mathcal S}=\left\{2\i~;~1-\i\sqrt{2}~;~1+\i\sqrt{2}\right\}~}$$

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