1. Quels types d’équations du premier degré ?

Voici les trois types d’équations (réduites) du premier degré dans $\C$. $$\begin{cases}
\text{type (1)} & az+b=0,~a\in\C^{*}\\
\text{type (2)} & a\overline{z}+b=0,~a\in\C^{*}\\
\text{type (3)} &az+b\overline{z}+c=0,~a\in\C^{*}, ~b\in\C^{*}\\
\end{cases}$$ Maintenant, analysons ces trois cas :

  • Une équation du type (1) : $az+b=0$, $a\not=0$. Donc, elle admet une seule solution : $z=-\dfrac{b}{a}$. Après, il faut déterminer la forme algébrique de cette solution.
  • Une équation du type (2) : $a\overline{z}+b=0$, $a\not=0$. Équation en $\overline{z}$, donc on calcule d’abord $\overline{z}$, puis on calcule le conjugué de $\overline{z}$. Ainsi, l’équation (2) admet une seule solution : $z=\overline{\left(-\dfrac{b}{a}\right)}$. Après, il faut déterminer la forme algébrique de cette solution.
    .
  • Une équation du type (3) se comporte comme une « équation à deux inconnues liées ».
    La meilleure méthode est d’exprimer $z$ et $\overline{z}$ sous la forme algébrique : $z=x+\i y$ et $\overline{z}=x-\i y$.

    On traduit l’équation en fonction de $x$ et $y$, puis on applique la propriété d’égalité de deux nombres complexes.

    « Deux nombres complexes son égaux si et seulement si, leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales ».

    Ce qui aboutit à un système de deux équations du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$, qu’on sait résoudre.

2. Exercices résolus

2. Résolution d’équations du premier degré du type (1) $az+b=0$

Exemple résolu n°1.
Résoudre l’équation suivante dans $\C$ : $2\i z -1-i =z+2\i$ $(E_1)$

1°) Pour l’équation $(E_1)$, on procède exactement comme dans $\R$. On regroupe les termes en $z$ à gauche et les termes constants à droite :
$$\begin{array}{lcl}
(E_1)& \text{(ssi)} & 2\i z -1-i =z+2\i\\
&\text{(ssi)} & (2\i-1)z=1+3\i\\
&\text{(ssi)} & z=\dfrac{1+ 3\i}{-1+2\i}\end{array}$$
Il faut maintenant multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $-12\i$, pour écrire $z$ sous la forme algébrique.
$$\begin{array}{lcl} (E_1) & \text{(ssi)} & z=\dfrac{(1+3\i)(-1-2\i)}{(-1+2\i)(-1-2\i)}\\
& \text{(ssi)} & z=\dfrac{-1-2\i-3\i+6}{(-1)^2+(-2)^2}\\ & \text{(ssi)} & z=\dfrac{5-5\i}{5}\\ & \text{(ssi)} & z=1-\i\end{array}$$
Conclusion. L’équation $(E_1)$ admet une seule solution et : $$\boxed{~{\mathcal S}_1=\{1-\i\}~}$$
CQFD.$\blacktriangle$

2. Résolution d’équations du premier degré du type (2) $a\overline{z}+b=0$

Exemple résolu n°2.
Résoudre l’équation suivante dans $\C$ : $(1+i)\overline{z}-2\i=0$ $(E_2)$


Pour l’équation $(E_2)$, même méthode : On regroupe les termes en $\overline{z}$ à gauche et les termes constants à droite : $$\begin{array}{lcl}
(E_2) & \text{(ssi)} & (1+i)\overline{z}-2\i=0\\ & \text{(ssi)} & (1+i)\overline{z}=2\i\\
& \text{(ssi)} & \overline{z}=\dfrac{2\i}{1+\i}\end{array}$$
Il faut maintenant multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $1+\i$, pour écrire $\overline{z}$ sous la forme algébrique. $$\begin{array}{lcl}
(E_2) & \text{(ssi)} & \overline{z}=\dfrac{2\i(1-\i)}{(1+\i)(1-\i)}\\ & \text{(ssi)} & \overline{z}=\dfrac{2\i+2}{1^2+(-1)^2}\\ & \text{(ssi)} & \overline{z}=\dfrac{2\i+2}{2}\\ & \text{(ssi)} & \overline{z}=1+\i\\ & \text{(ssi)} & z=1-\i\end{array}$$
Conclusion. L’équation $(E_2)$ admet une seule solution et : $$\boxed{~{\mathcal S}_2=\{1-\i\}~}$$
CQFD.$\blacktriangle$

2. Résolution d’équations du premier degré du type (3) $az+b\overline{z}+c=0$

Exemple résolu n°3.
Résoudre l’équation suivante dans $\C$ : $(1+\i)\overline{z} +2\i z =1-\i$ $(E_3)$


L’équation $(E_3)$ contient des $z$ et des $\overline{z}$. On ne peut plus appliquer la même méthode que dans les deux exercices précédents.
Par contre si on pose $z=x+\i y$, alors et $\overline{z}=x-\i y$. On peut revenir à la forme algébrique et appliquer le théorème sur l’égalité des nombres complexes.
$$\begin{array}{lcl} (E_3) & \text{(ssi)} & (1+\i)(x-\i y)+2\i(x+\i y)=1-\i\\
& \text{(ssi)} & x-\i y +\i x+y+2\i x-2y=1-\i\\ & \text{(ssi)} & (x-y)+\i(3x-y)=1-\i\end{array}$$
Or, deux nombres complexes son égaux si et seulement si, leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales. On obtient donc un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ que nous savons résoudre :
$$\text{(ssi)} \left\{\begin{array}{l}
\text{égalité des parties réelles}\\ \text{égalité des parties imaginaires}\\ \end{array}\right.$$ Ce qui donne : $$(E_3)~\text{(ssi)} \quad \left\{\begin{array}{rl}
x-y &= 1\\ 3 x -y &= -1\\ \end{array}\right.$$
On résout le système par substitution.
$$(E_3)~\text{(ssi)} \left\{\begin{array}{rl}
x &=y+1\\ 2y &= -4\\ \end{array}\right.$$
$$(E_3)~\text{(ssi)} \left\{\begin{array}{rl}
x &=-2+1=-1\\ y &=-2\\ \end{array}\right.$$
Ce qui équivaut à : $$ z=-1-2\i$$
Conclusion. L’équation $(E_3)$ admet une seule solution et : $$\boxed{~{\mathcal S}_3=\{-1-2\i\}~}$$
CQFD.$\blacktriangle$