1. Représentation graphique d’une fonction affine

Théorème 1.
Soit $f$ une fonction affine définie pour tout $x\in\R$ par : $f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux nombres réels donnés. (Si $p=0$, $f$ est linéaire). Alors :
1°) Dans un repère du plan, la représentation graphique de la fonction affine ou linéaire $f$ est une droite $D$ non parallèle à l’axe des ordonnées $(Oy)$ et qui passe par le point $B(0;p)$, telle que : $$M(x;y)\in D \Longleftrightarrow y=f(x) \Longleftrightarrow y=mx+p$$
Réciproquement,
2°) Toute droite $D$ non parallèle à l’axe des ordonnées $(Oy)$, est la représentation graphique :
$\quad-$ d’une fonction affine $f$ définie sur $\R$, si $D$ ne passe pas par l’origine $O$.
$\quad-$ d’une fonction linéaire $f$ définie sur $\R$, si $D$ passe par l’origine $O$.

Autrement dit :
1°) Toutes les fonctions linéaires sont représentées graphiquement par des droites passant par l’origine $O$ du repère et non parallèles à l’axe des ordonnées et réciproquement.

2°) Toutes les fonctions affines non linéaires sont représentées graphiquement par des droites ne passant pas par l’origine $O(0;0)$ du repère et non parallèles à l’axe des ordonnées et réciproquement.

3°) Tous les droites parallèles à l’axe des ordonnées, d’équations de la forme $y=p$, $p\in\R$, ne représentent ni des fonctions affines, ni des fonctions linéaires.

Définition 2.
« $y=mx+p$ » s’appelle l’équation de la droite $D$.
Le coefficient de $x$, noté $m$ s’appelle le coefficient directeur de la droite $D$.
Le terme constant, noté $p$ s’appelle l’ordonnée à l’origine de la droite $D$.
Dans tous les cas, pour toutes les fonctions affines ou linéaires : $$p=f(0)\quad\text{et}\quad B(0;p)\in D$$

Exemples

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies pour tout $x\in\R$ par : $$f(x)=2x-3~;\quad g(x)=-\dfrac{3}{2}x~;\quad c) h(x)=4$$ $f$ est une fonction affine non linéaire, sa représentation graphique est une (la) droite $D\not// (Oy)$ et ne passant pas par l’origine $O(0;0)$ du repère.
$g$ est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une (la) droite $D’\not// (Oy)$ et passant par l’origine $O(0;0)$ du repère.
$h$ est une fonction constante, sa représentation graphique est une (la) droite $\Delta // (Ox)$ et passant par le point $E(0;4)$.

fonctions affines et fonctions linéaires
${\mathcal C}_f=D$ d’équation : $y=2x-3$.
${\mathcal C}_g=D’$ d’équation : $y=-\dfrac{2}{3}x$.
${\mathcal C}_h=\Delta$ d’équation : $y=4$.

Exercices résolus

Pour construire une droite, il suffit de connaître les coordonnées de deux points de cette droite.
Pour cela,

Exercices 2.
Construire la représentation graphique de chacune de la fonction $f$ suivante définie pour tout $x\in\R$ par : $$f(x)=4x-3$$

Pour tout $x\in\R$ $f(x)=4x-3$.
$f$ est une fonction affine de coefficient $m=4$ et de terme constant $p=-3$.
Sa représentation graphique est une droite $D$ d’équation $$y=4x-3$$
Pour tracer une droite, il suffit de connaître les coordonnées de deux points.
$\rightarrow$ Si $x=0$, on sait déjà que : $f(0)=-3$. Donc : $$B(0;-3)\in D$$ On choisit une deuxième valeur de $x$, assez éloignée de $0$.
$\rightarrow$ Si $x=2$, $f(4)=4\times 2-3=5$. Donc le point $A(2;5)\in D$.
On obtient le tableau clé suivant :
$$\begin{array}{|r|c|c|}\hline
Points & x & y\\ \hline
A& 2 &5\\ \hline
B&0&-3\\ \hline
\end{array}$$
Il reste maintenant à placer les 2 points dans le repère et tracer la droite $D$.
CQFD.$\blacktriangle$

Exercices 3.
Construire la représentation graphique de chacune de la fonction $g$ suivante définie pour tout $x\in\R$ par : $$g(x)=\dfrac{1}{2}x$$

$g(x)=-\dfrac{1}{2}x$.
$g$ est une fonction linéaire de coefficient $m=-\dfrac{1}{2}$. Son terme constant est nul. $p=0$. Sa représentation graphique est une droite $D’$ qui passe par l’origine $O(0;0)$ du repère. L’équation de $D’$ est $$y=-\dfrac{3}{2}x$$
Pour tracer une droite $D’$, il suffit de connaître les coordonnées d’un seul point, car $O(0;0)\in D’$
$\rightarrow$ Si $x=0$, on sait déjà que : $g(0)=0$, donc : $$O(0;0)\in D’$$
Le dénominateur est égal à $2$. On choisit $x$ un multiple de $2$. Par exemple
$\rightarrow$ Si $x=4$, $g(4)=-\dfrac{1}{2}\times 4=-2$. Donc le point $$C(4;-2)\in D’$$
On obtient le tableau clé suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
\text{Points} & x & y\\ \hline
O&0&0\\ \hline
C& 4 &-2\\ \hline
\end{array}$$
Il reste maintenant à placer les 2 points dans le repère et tracer la droite $D’$.
CQFD.$\blacktriangle$

c) $h(x)=4$.
$h$ est une fonction constante, de coefficient $m »=0$. Son terme constant est $p=4$. Sa représentation graphique est une droite $\Delta$, parallèle à l’axe des abscisses (horizontale) et qui passe par le point $E(0;4)$. L’équation de $D’$ est $$y=4$$

D’autre part, la fonction $h$ étant constante, tous les $x$ ont la même image $4$. En particulier : $h(5)=4$. Donc, $\Delta$ passe par le point $F(5;4)$.
Il reste maintenant à placer les points et tracer la droite $\Delta$.

Exercices 4.
Construire la représentation graphique de chacune de la fonction $h$ suivante définie pour tout $x\in\R$ par : $$h(x)=4$$

c) $h(x)=4$.
$h$ est une fonction constante, de coefficient $m »=0$. Son terme constant est $p=4$. Sa représentation graphique est une droite $\Delta$, parallèle à l’axe des abscisses (horizontale) et qui passe par le point $E(0;4)$. L’équation de $D’$ est $$y=4$$ D’autre part, la fonction $h$ étant constante, tous les $x$ ont la même image $4$. En particulier : $h(5)=4$. Donc, $\Delta$ passe par le point $F(5;4)$.
Il reste maintenant à placer les 2 points dans le repère et tracer la droite $\Delta$.
CQFD.$\blacktriangle$