1. Représentation graphique d’un nombre complexe.
1.a) Affixe d’un point
Pour représenter graphiquement un nombre complexe, nous allons utiliser un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$. Dans le plan complexe, nous utiliserons le repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$ et pas $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ pour éviter les confusions possibles entre le vecteur $\vec{\imath}$ et le nombre complexe $i$, $i^2=-1$.
On rappelle que le repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{v})$ est dit direct si et seulement si on passe du premier au second vecteur de base, en tournant d’un angle droit, dans le sens positif.
Autrement dit : Le repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{v})$ est direct si, et seulement si : $$\boxed{~~(\vec{u};\vec{v})=+\dfrac{\pi}{2}~~}$$
Définition 1.
A tout point $M(x;y)$ du plan réel, on associe le nombre complexe $z=x+iy$. $z$ s’appelle l’affixe du point $M$. On écrit $M(z)$ et on lit « Le point $M$ d’affixe $z$ ».
Réciproquement,
A tout nombre complexe $z=x+iy$, on associe le point $M(x;y)$ de coordonnées $(x;y)$ du plan. $M$ s’appelle l’image du nombre complexe $z$.
Nous connaissons le repère orthonormé direct du plan réel depuis longtemps. Désormais, nous allons découvrir le plan complexe dans lequel on représente des points et des vecteurs avec leurs affixes.
Définition 2.
Dans le repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$ du plan :
L’axe des abscisses représente l’ensemble des nombres réels et s’appelle l’axe des réels ;
L’axe des ordonnées représente l’ensemble des complexes imaginaires purs et s’appelle l’axe des imaginaires purs.
Le plan muni du repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$ dans lequel les points sont représentés par des nombres complexes s’appelle le plan complexe.
Exemple
Les points $M$ d’affixe $z=x+iy$ et $M’$ d’affixe $\overline{z}$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Où se trouvent les points d’affixes $-z$ et $-\overline{z}$ ?
1.b) Affixe d’un vecteur
Définition 3.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$.
Comme pour les points, à tout vecteur $\overrightarrow{V}$ de coordonnées, $(a;b)$ on associe le nombre complexe $z=a+\i b$ qu’on appelle l’affixe du vecteur $\overrightarrow{V}$. On écrit : $$\boxed{~~z_{\overrightarrow{V}}=a+\i b~~}$$
Théorème 2.
Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe, d’affixes $z_A$ et $z_B$ respectivement. Alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe : $$\boxed{\mathstrut~~z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A~~}$$
2. Propriétés des vecteurs dans le plan complexe
On peut ainsi transposer toutes les propriétés sur les coordonnées des vecteurs du plan réel avec les nombres complexes. Les théorèmes suivants sont très importants :
2.a) Colinéarité de vecteurs
Théorème 3.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct. Alors :
Si $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ sont deux vecteurs d’affixes $z_{\overrightarrow{U}}$ et $z_{\overrightarrow{V}}$ respectivement, alors les deux vecteurs $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ sont colinéaires si et seulement si, il existe un nombre réel $k$ tel que $$\boxed{~~\overrightarrow{U}=k\overrightarrow{V}~~}$$ si et seulement si, il existe un nombre réel $k$ tel que : $$\boxed{~~z_{\overrightarrow{U}}=kz_{\overrightarrow{V}}~~}$$
2.b) Propriété fondamentale du parallélogramme
Théorème 4.
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan complexe, d’affixes $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$ respectivement. Alors :
$$\begin{array}{rl}
ABCD~\text{est un parallélogramme}& \text{(ssi)}~~ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \\
&\text{(ssi)}~~ \boxed{\mathstrut~~z_B-z_A=z_C-z_D~~}\end{array}$$
2.c) Milieu d’un segment
Théorème 5.
Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe, d’affixes $z_A$ et $z_B$ respectivement. Alors,
le milieu M du segment $[AB]$ a pour affixe : $$\boxed{~~z_M=\dfrac{z_A+z_B}{2}~~}$$
Immédiat.
3. Module d’un nombre complexe et norme d’un vecteur
Définition 4.
Soit $M$un point d’affixe $z=a+\i b$, du plan complexe muni d’un repère orthonormé direct. Alors la norme du vecteur $ \overrightarrow{OM}$, égale à la longueur du segment $[OM]$, s’appelle le module de z et se note $\abs{z}$. En posant $z=a+\i b$, on a alors $$\boxed{~~\abs{z}=||\overrightarrow{OM}|| \in\R^{+}\quad\text{et}\quad\abs{z}=\sqrt{a^2+b^2}~~}$$
Conséquence
Théorème 6.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct.
Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe, d’affixes $z_A$ et $z_B$ respectivement. Alors,
la longueur $AB$ du segment $[AB]$ est égale à la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et est aussi égale au module de l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
On retrouve les formules vues au collège : $$\boxed{~~AB=||\overrightarrow{AB}||=\abs{z_B-z_A}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}~~}$$
2. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$.
1°) Placer les points $A(3;4)$, $B(5,0)$, $C(-1;2)$, $D(-2;4)$, $E(0;-4)$, $F(-2;0)$ et $G(-3;-2)$.
2°) Déterminer les affixes de chacun des points ci-dessus.
3°) Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont-ils colinéaires ? Justifier votre réponse.
4°) Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
Exercice résolu n°2.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$.
1°) Placer les points munis de leurs affixes : $E(-3+4\i)$, $F(5)$, $G(-4\i)$, $H(-3-2\i)$.
2°) Calculer les affixes des points suivants, $I$, $J$, $K$ et $L$, milieux respectifs des segments $[EF]$, $[FG]$, $[GH]$ et $[HE]$.
3°) Démontrer que $IJKL$ est un parallélogramme.
Exercice résolu n°3.
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{v})$.
1°) Résoudre dans $\C$ l’équation $z^2+z+1$. On appellera $z_1$ et $z_2$ les deux solutions obtenues.
2°) On appelle A le point d’affixe $z_A=1$ et $B$ et $C$ les points d’affixes $z_1$ et $z_2$.
a) Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.
b) En déduire la nature du triangle $ABC$.