1. Demi-droite graduée
Pour comparer, insérer, encadrer ou ranger deux nombres ou une série de nombres, on peut placer ces nombres sur une demi-droite graduée.
1.1. Construction d’une demi-droite
Définition 1.
On considère deux point $O$ et $I$.
La demi-droite d’origine $O$ et passant par un point $I$ est une ligne droite qui part du point $O$, passe par $I$ et continue indéfiniment. On la note $[OI)$.
1.2. Construction d’une demi-droite graduée
Définition 1.
On considère deux point $O$ et $I$. On définit une graduation sur une demi-droite d’origine $O$, par la donnée d’un point $I$ appelé point unité de la graduation.
Ainsi, une demi-droite graduée est donnée par :
— Un point $O$ = L’origine de la demi-droite et origine, de la graduation, correspond au nombre $0$.
— Un point $I$ = Le point unité, de la graduation, correspond au nombre $1$.
— La longueur $OI$ = L’unité de la graduation, correspond au nombre $1$.
— Le sens croissant = le sens de parcours de $O$ vers $I$.
Dans beaucoup d’exercices, on choisira en général comme unité :
$OI={}$1 grand carreau
ou $OI={}$1 petit carreau
ou $OI={}$1cm
ou encore $OI={}$1mm.
1.3. Abscisse d’un point sur demi-droite graduée
Définition 3.
Sur une demi-droite graduée d’origine $O$ et d’unité $OI$, on associe à chaque nombre $a$ (noté en lettre minuscule), un point noté $A$, en lettre majuscule.
— Le nombre $a$ s’appelle l’abscisse du point $A$ ;
— Le point $A$ s’appelle l’image du nombre $a$ sur la demi-droite.
Le nombre $a$ se note parfois $x_A$. On écrit $A(a)$ ou $A(x_A)$.
Exemples
Exercice 1.
Dans la figure ci-dessous, déterminer les abscisses des points $O$, $I$, $A$, $B$, $C$ et $M$.
2. Choisir une unité adaptée sur une demi-droite graduée
Comment choisir l’unité adaptée aux nombres donnés dans un exercice ?
En général, on choisit $OI={}$1 grand carreau ou $OI={}$1cm. Mais, que doit-on choisir comme unité dans les cas suivants ?
— Pour représenter des nombres comme 25, 48, 55, 68 et 85 ?
— Pour représenter les nombres comme 125, 348, 455 et 865 ?
— Ou encore, pour représenter les nombres comme 325, 750, 1260 et 1880 ?
Pour adapter l’unité aux nombres donnés dans un exercice, on choisira les unités de telle sorte que notre demi-droite rentre dans la largeur du cahier. On pourra plus placer le point $I$ dans certains cas.
1 unité = 1mm
1 unité = 2 grands carreaux
10 unités = 1cm ou 1 carreau ou 2 carreaux
100 unités = 1cm ou 1 carreau ou 2 carreaux.
3. Exercices résolus
Exercice 2.
Sur une demi-droite graduée, placer les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ d’abscisses respectives : $x_A=25$, $x_B=48$, $x_C=55$, $x_D=68$ et $x_E=85$.
Corrigé
Dans cet exercice, les nombres choisis sont compris entre $0$ et $100$.
Pour avoir une demi-droite qui rentre dans la largeur du cahier, on divise par $10$. On choisit : $$\begin{array}{l}10~\text{unités} = 1~\text{cm}\\
10~\text{unités} = 1~\text{grand carreau}\\ \end{array}$$
Ce qui donne :
Il reste à placer les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$.
Pour cela, on peut rajouter des sous-unités, comme le mm pour le cm. Cela nous permettre de placer ces points avec plus de précision. On obtient alors :
Nous avons bien : $x_A=25$, $x_B=48$, $x_C=55$, $x_D=68$ et $x_E=85$.
CQFD.$\blacktriangle$
Exercice 3.
Sur une demi-droite graduée, placer les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ d’abscisses respectives : $x_A=225$, $x_B=448$, $x_C=505$, $x_D=168$ et $x_E=85$.
A terminer