Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$.
Dans le plan complexe, nous utiliserons le repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$ et pas $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ pour éviter les confusions possibles entre le vecteur $\vec{\imath}$ et le nombre complexe $i$, $i^2=-1$.

1. Module et argument d’un nombre complexe

Coordonnées polaires de $M$

Définition 1.
Soit $M$ un point du plan complexe d’affixe $z=x+\i y$. Alors les coordonnées cartésiennes de $M$ sont $(x;y)$. On note $(r;\theta)$ les coordonnées polaires de $M$. Alors :
1°) On note $r=||\overrightarrow{OM}||\in\R^{+}$ (norme du vecteur $\overrightarrow{OM}$)
Le nombre réel positif ou nul $r$, noté $r=\abs{z}=\sqrt{x^2+y^2}$, s’appelle le module du nombre complexe $z$.
2°) Le nombre réel $\theta=(\vec{u};\overrightarrow{OM})$ (modulo $2\pi$), désigne l’angle orienté que forme le vecteur $\overrightarrow{OM}$ avec le vecteur de base $\vec{u}$ de direction $[Ox)$.
Le nombre $\theta$ exprimé en radian et noté $\theta=\arg(z)$ s’appelle l’argument du nombre complexe $z$.
Alors, l’écriture : $$z=\abs{z}\left(\cos\theta+\i\sin\theta\right)$$ s’appelle la forme trigonométrique de $z$.

Soit $z\in\C$ et $M$ d’affixe $z=x+\i y$ dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$. On a alors : $$\boxed{~~z=x+\i y=r\cos\theta+\i r\sin\theta=r(\cos\theta+\i\sin\theta)=\abs{z}(\cos\theta+\i\sin\theta).~~}$$ D’après cette définition, nous pouvons maintenant passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique de $z$ et inversement avec les relations suivantes : $$\boxed{\begin{array}{l}
\bullet~~z=x+\i y\qquad Forme~algébrique\\
\bullet~~r=\abs{z}=||\overrightarrow{OM}|| = \sqrt{x^2+y^2}\\
\bullet~~x=r \cos\theta\quad\text{et}\quad y=r\sin\theta\\
\bullet~~\cos\theta=\dfrac{x}{\abs{z}}\quad\text{et}\quad\sin\theta=\dfrac{y}{\abs{z}}\\
\bullet~~z=r(\cos\theta+\i\sin\theta)\quad Forme~trigonométrique\end{array}~~}$$

2. Propriété du module et de l’argument d’un nombre complexe

2.a) Module et argument du conjugué d’un nombre complexe

Soit $z$ un nombre complexe non nul et $M(z)$. On pose : $z=x+iy$, $r=\abs{z}$ et $\theta=\arg(z)$.

module et argument du conjugué de $z$

Théorème 1.
Soit $z=x+\i y$ un nombre complexe et $M$ le point d’affixe $z$. Alors :
1°) $\overline{z}=x-\i y$ et $M'(\overline{z}$ est le symétrique de $M(z)$ par rapport à l’axe des abscisses ; $$\abs{\overline{z}}=\abs{z}~~\text{et}~~\arg(\overline{z})=\arg(z)$$
2°) $-\overline{z}=-x+\i y$ et $M_1(-\overline{z})$ est le symétrique de $z$ par rapport à l’axe des ordonnées. $$\abs{-z}=\abs{z}~~\text{et}~~\arg(-z)=\pi+\arg(z)$$
3°) $-z=-x-\i y$ et $M_2(-z)$ est le symétrique de $z$ par rapport au centre $O$ du repère. On a alors :$$\abs{-\overline{z}}=\abs{z}~~\text{et}~~\arg(-\overline{z})=\pi-\arg(z)$$

Les démonstrations sont immédiates et laissées à titre d’exercice.

2.b) Module et argument du produit, de l’inverse et du quotients de nombres complexes

Théorème 2.
Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes et $z_2\not=0$, dont on connaît les formes trigonométriques. Alors :
$$\begin{array}{lll}
1°) &\abs{z_1z_2}=\abs{z_1}\abs{z_2}
&\text{et}~~\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)~[2\pi]\\
2°) &\left|\dfrac{1}{z_2}\right|=\dfrac{1}{\abs{z_2}}
&\text{et}~~\arg\left(\dfrac{1}{z_2}\right)=-\arg(z_2)~[2\pi]\\
3°) &\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{\abs{z_1}}{\abs{z_2}}
&\text{et}~~\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\arg(z_1)-\arg(z_2)~[2\pi]\\ \end{array}$

Théorème 3.
Soit $z$ un nombre complexe. Alors :
$$\begin{array}{ll}
\abs{z^2}=\abs{z}^2 &\text{et}~~\arg(z^2)=2\arg(z)~[2\pi]\qquad(4)\\
\text{Pour tout } n\in\N : \abs{z^n}=\abs{z}^n &\text{et}~~\arg(z^n)=n\arg(z)~[2\pi]\qquad(5)\\ \end{array}$$

Cas particuliers très importants

Théorème 4.
Soit $z$ un nombre complexe. Alors :
$$\begin{array}{ll}
1°) &z~\text{est un nombre réel }\textbf{positif}\\
&\text{(ssi) }\abs{z}=z \text{ (ssi) } z=x\in\R^{+}\\
&\text{(ssi) } \arg(z)=0~[2\pi]\\
2°) &z~\text{est un nombre réel }\textbf{négatif} \\
&\text{(ssi) }\abs{z}=-z \text{ (ssi) } z=x\in\R^{-}\\
&\text{(ssi) } \arg(z)=\pi~[2\pi]\\
3°) &z~\text{est un imaginaire pur à coefficient positif} \\
&\text{(ssi) } z=\i y, y\in\R^{+}, \text{ (ssi) } \arg(z)=+\dfrac{\pi}{2}~[2\pi]\\
4°) &z~\text{est un imaginaire pur à coefficient négatif} \\
&\text{(ssi) } z=\i y, y\in\R^{-}, \text{ (ssi) } \arg(z)=-\dfrac{\pi}{2}~[2\pi]\\
\end{array}$$

3. Relations trigonométriques

Soient $\theta_1$, $\theta_2$ et $\theta$ trois nombres réels. Soit $n$ un entier naturel non nul. On rappelle les formules trigonométriques des cosinus et sinus vues en classe de 1ère.
$\quad\boxed{~~\begin{array}{lr}
\cos(\theta_1+\theta_2) &=\cos(\theta_1)\cos(\theta_2)-\sin(\theta_1)\sin(\theta_2)\\
\cos(2\theta) &\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)\\ \end{array}~~}$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Soient $z_1$, trois nombres réels.
1°) Démontrer que pour tous $z_1, z_2\in\C$ :
$\abs{z_1z_2}=\abs{z_1}\abs{z_2}$ et $\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)$ $[2\pi]$.
2°) En déduire que pour tout $z\in\C$ et tout $n\in\N^{*}$ :
$\abs{z^n}=\abs{z}^n$ et $\arg(z^n)=n\arg(z)$ $[2\pi]$.

1°) $z_1, z_2\in\C$.
On pose $\abs{z_1}=r_1$, $\arg{z_1}=\theta_1$, $\abs{z_2}=r_2$ et $\arg{z_2}=\theta_2$
Les formes trigonométrques de $z_1$ et $z_2$ sont : $$z_1=\abs{z}\left(\cos\theta+\i\sin\theta\right)$
CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°1. Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe $z_1=1+\i$.

1er réflexe : Je calcule le module de $z_1=1+\i$. $$\abs{z_1}=\sqrt{1^2+1^2}=\boxed{~\sqrt{2}~}$$
2ème réflexe : Je cherche l’argument de $z_1=1+\i$. Pour cela, je calcule $\cos\theta$ et $\sin\theta$. $$\begin{cases}
\cos\theta=\dfrac{x}{\abs{z_1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\boxed{~\dfrac{\sqrt{2}}{2}~}\\
\sin\theta=\dfrac{y}{\abs{z_1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\boxed{~\dfrac{\sqrt{2}}{2}~} \\ \end{cases}$$

3ème réflexe : Je consulte mon cercle trigonométrique, ou mon tableau de référence des cosinus et sinus, en notant les signes du cosinus et du sinus pour déterminer dans quel cadran du repère je dois choisir mon angle $\theta$.

Ici, nous voyons bien que l’argument de $z_1=1+\i$ est : $$\boxed{~\theta=\dfrac{\pi}{4}~}$$
Conclusion. La forme trigonométrique du nombre complexe $z_1=1+\i$ est : $$\boxed{~~z_1=\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right)~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°1. Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe $z_1=1+\i$.


CQFD.$\blacktriangle$

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