Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$.
Dans le plan complexe, nous utiliserons le repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$ et pas $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ pour éviter les confusions possibles entre le vecteur $\vec{\imath}$ et le nombre complexe $i$, $i^2=-1$.

1. Module et argument d’un nombre complexe

Coordonnées polaires de $M$

Définition 1.
Soit $M$ un point du plan complexe d’affixe $z=x+\i y$. Alors les coordonnées cartésiennes de $M$ sont $(x;y)$. On note $(r;\theta)$ les coordonnées polaires de $M$. Alors :
1°) On note $r=||\overrightarrow{OM}||\in\R^{+}$ (norme du vecteur $\overrightarrow{OM}$)
Le nombre réel positif ou nul $r$, noté $r=\abs{z}=\sqrt{x^2+y^2}$, s’appelle le module du nombre complexe $z$.
2°) Le nombre réel $\theta=(\vec{u};\overrightarrow{OM})$ (modulo $2\pi$), désigne l’angle orienté que forme le vecteur $\overrightarrow{OM}$ avec le vecteur de base $\vec{u}$ de direction $[Ox)$.
Le nombre $\theta$ exprimé en radian et noté $\theta=\arg(z)$ s’appelle l’argument du nombre complexe $z$.
Alors, l’écriture : $$z=\abs{z}\left(\cos\theta+\i\sin\theta\right)$$ s’appelle la forme trigonométrique de $z$.

Soit $z\in\C$ et $M$ d’affixe $z=x+\i y$ dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$. On a alors : $$\boxed{~~z=x+\i y=r\cos\theta+\i r\sin\theta=r(\cos\theta+\i\sin\theta)=\abs{z}(\cos\theta+\i\sin\theta).~~}$$ D’après cette définition, nous pouvons maintenant passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique de $z$ et inversement avec les relations suivantes : $$\boxed{\begin{array}{l}
\bullet~~z=x+\i y\qquad Forme~algébrique\\
\bullet~~r=\abs{z}=||\overrightarrow{OM}|| = \sqrt{x^2+y^2}\\
\bullet~~x=r \cos\theta\quad\text{et}\quad y=r\sin\theta\\
\bullet~~\cos\theta=\dfrac{x}{\abs{z}}\quad\text{et}\quad\sin\theta=\dfrac{y}{\abs{z}}\\
\bullet~~z=r(\cos\theta+\i\sin\theta)\quad Forme~trigonométrique\end{array}~~}$$

2. Propriété du module et de l’argument d’un nombre complexe

2.a) Module et argument du conjugué d’un nombre complexe

Soit $z$ un nombre complexe non nul et $M(z)$. On pose : $z=x+iy$, $r=\abs{z}$ et $\theta=\arg(z)$.

module et argument du conjugué de $z$

Théorème 1.
Soit $z=x+\i y$ un nombre complexe et $M$ le point d’affixe $z$. Alors :
$\bullet~\overline{z}=x-\i y$ et $M'(\overline{z}$ est le symétrique de $M(z)$ par rapport à l’axe des abscisses ; $$(1)\quad\abs{\overline{z}}=\abs{z}~~\text{et}~~\arg(\overline{z})=\arg(z) $$
$\bullet~-\overline{z}=-x+\i y$ et $M_1(-\overline{z})$ est le symétrique de $z$ par rapport à l’axe des ordonnées. $$(2)\quad\abs{-z}=\abs{z}~~\text{et}~~\arg(-z)=\pi+\arg(z)$$
$\bullet~-z=-x-\i y$ et $M_2(-z)$ est le symétrique de $z$ par rapport au centre $O$ du repère. On a alors :$$(3)\quad\abs{-\overline{z}}=\abs{z}~~\text{et}~~\arg(-\overline{z})=\pi-\arg(z)$$

Les démonstrations sont immédiates et laissées à titre d’exercice.

2.b) Module et argument du produit, de l’inverse et du quotients de nombres complexes

Théorème 2.
Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes et $z_2\not=0$, dont on connaît les formes trigonométriques. Alors : $$\begin{array}{lll}
(4) &\abs{z_1z_2}=\abs{z_1}\abs{z_2}
&\text{et}~~\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)~[2\pi]\\
(5) &\left|\dfrac{1}{z_2}\right|=\dfrac{1}{\abs{z_2}}
&\text{et}~~\arg\left(\dfrac{1}{z_2}\right)=-\arg(z_2)~[2\pi]\\
(6) &\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{\abs{z_1}}{\abs{z_2}}
&\text{et}~~\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\arg(z_1)-\arg(z_2)~[2\pi]\\ \end{array}$$

Théorème 3.
Soit $z$ un nombre complexe. Alors :
$$\begin{array}{lll}
(7) &\abs{z^2}=\abs{z}^2 &\text{et}~~\arg(z^2)=2\arg(z)~[2\pi]\\
(8) & \text{Pour tout } n\in\N : \abs{z^n}=\abs{z}^n &\text{et}~~\arg(z^n)=n\arg(z)~[2\pi]\\ \end{array}$$

Cas particuliers très importants

Théorème 4.
Soit $z$ un nombre complexe. Alors :
$$\begin{array}{ll}
(9) &z~\text{est un nombre réel }\textit{\textbf{positif}} \\
&\text{(ssi) }\abs{z}=z \text{ (ssi) } z=x\in\R^{+} \\
&\text{(ssi) } \arg(z)=0~[2\pi]\\
(10) &z~\text{est un nombre réel }\textit{\textbf{négatif}} \\
&\text{(ssi) }\abs{z}=-z \text{ (ssi) } z=x\in\R^{-}\\
&\text{(ssi) } \arg(z)=\pi~[2\pi]\\
(11) &z~\text{est un imaginaire pur à coefficient positif} \\
&\text{(ssi) } z=\i y, y\in\R^{+}, \text{ (ssi) } \arg(z)=+\dfrac{\pi}{2}~[2\pi]\\
(12) &z~\text{est un imaginaire pur à coefficient négatif} \\
&\text{(ssi) } z=\i y, y\in\R^{-}, \text{ (ssi) } \arg(z)=-\dfrac{\pi}{2}~[2\pi]\\
\end{array}$$

3. Relations trigonométriques

Soient $\theta_1$, $\theta_2$ et $\theta$ trois nombres réels. Soit $n$ un entier naturel non nul. On rappelle les formules trigonométriques des cosinus et sinus vues en classe de 1ère.
$$\boxed{~~\begin{array}{rl}
\cos(\theta_1+\theta_2) &=\cos(\theta_1)\cos(\theta_2)-\sin(\theta_1)\sin(\theta_2)\\
\cos(2\theta) &=\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)\\
\sin(\theta_1+\theta_2) &=\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)+\cos(\theta_1)\sin(\theta_2)\\
\sin(2\theta) &=2\s^2(\theta)-\sin^2(\theta)\\ \end{array}~~}$$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
1°) Démontrer que pour tous $z_1, z_2\in\C$ :
$\abs{z_1z_2}=\abs{z_1}\abs{z_2}$ et $\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)$ $[2\pi]$.

1°) Soient $z_1, z_2\in\C$.
On pose $\abs{z_1}=r_1$, $\arg{z_1}=\theta_1$, $\abs{z_2}=r_2$ et $\arg{z_2}=\theta_2$
Les formes trigonométriques de $z_1$ et $z_2$ sont :
$z_1=\abs{z}\left(\cos\theta_1+\i\sin\theta_1\right)$
et $z_2=\abs{z}\left(\cos\theta_2+\i\sin\theta_2\right)$
Calculons le produit $z_1z_2$ :
$$\begin{array}{rl} z_1z_2
& =\abs{z_1} (\cos\theta_1+\i\sin\theta_1) \times \abs{z_2}(\cos\theta_2+\i\sin\theta_2)\\
& =\abs{z_1}\abs{z_2}(\cos\theta_1+\i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+\i\sin\theta_2)\\
& =\abs{z_1}\abs{z_2}(\cos\theta_1\cos\theta_2+\i\cos\theta_1\sin\theta_2\\
& \phantom{=\abs{z_1}\abs{z_2}}+\i\sin\theta_1\cos\theta_2 + \i^2\sin\theta_1\sin\theta_2)\\
& =r_1r_2{\large[}(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)\\
& \phantom{=r_1r_2}+\i(\sin\theta_1\cos\theta_2+ \cos\theta_1\sin\theta_2){\large]}\\
& =r_1r_2\left[\cos(\theta_1+\theta_2)+\i\sin(\theta_1+\theta_2)\right]\\ \end{array}$$ Par identification, on en déduit que : $$\boxed{~~
\begin{array}{rl} \abs{z_1z_2} &=r_1r_2=\abs{z_1}\abs{z_2}\\
\text{et}~~\arg(z_1z_2) &=\theta_1+\theta_2=\arg(z_1)+\arg(z_2)\end{array}~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°2.
Démontrer que pour tous $z\in\C$ et tout entier $n\in\N^{*}$ :
$\abs{z^n}=\abs{z}^n$ et $\arg(z^n)=n\arg(z)$ $[2\pi]$.

On fait une démonstration par récurrence.
Pour tout entier $n\in\N^{*}$, on appelle $P_n$ la proposition logique :
$$P_n~:~{\large[}\abs{z^n}=\abs{z}^n~~\text{et}~~\arg(z^n)=n\arg(z)~[2\pi]{\large]}$$
Montrons par récurrence que pour tout entier $n\in\N^{*}$ : [$P_n$ est vraie].

a) Initialisation.
Pour $n=1$, on a :
d’une part : $\abs{z^1}=\abs{z}=\abs{z}^1$.
et d’autre part : $\arg(z^1)=\arg(z)=1\arg(z)$.
Donc, $P_1$ est vraie.

b) Hérédité.
Soit $n\in\N^{*}$. Supposons que $P_n$ est vraie. Donc : $${\large[}\abs{z^n}=\abs{z}^n~~\text{et}~~\arg(z^n)=n\arg(z)~[2\pi]{\large]}~~\text{(HR)}$$
Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$
Or, on sait que $\abs{z_1z_2}=\abs{z_1}\abs{z_2}$ et $\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)$ $[2\pi]$.
Donc, d’après l’hypothèse de récurrence (HR), on obtient d’une part : $$\begin{array}{rl}\abs{z^{n+1}}
&=\abs{z^n\times z} \\
&=\abs{z^n}\times\abs{z} \\
&= \abs{z}^n\times\abs{z} \\
\abs{z^{n+1}}&=\abs{z}^{n+1} \\ \end{array}$$
et d’autre part : $$\begin{array}{rl}\arg(z^{n+1})
&=\arg(z^n\times z) \\
&=\arg(z^n)+\arg(z) \\
&=n\arg(z)+\arg(z) \\
\arg(z^{n+1})&=(n+1)\arg(z)~~[2\pi] \\ \end{array}$$
Ce qui montre que $P_{n+1}$ est vraie. Donc la propriété $P_n$ est héréditaire.

c) Conclusion.
Nous avons démontré que $P_n$ est vraie au rang $n=1$ et qu’elle est héréditaire.
Donc, d’après le principe de récurrence, la proposition logique est vraie pour tout entier non nul $n$.
CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°3.
1°) Démontrer que pour tous $z\in\C$, $z\not=0$ : $$\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{\abs{z}}~~\text{et}~~\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z)~[2\pi]$$ 2°) En déduire que pour tous $z_1$, $z_2\in\C$, $z_2\not=0$ : $$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{\abs{z_1}}{\abs{z_2}}~~\text{et}~~\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\arg(z_1)-\arg(z_2)~[2\pi]$$

Soit $z\in\C$, $z\not=0$.
1ère méthode :
Posons $\abs{z}=r$ et $\arg(z)=\theta$. On a alors : $z=r(\cos\theta+\i\sin\theta)$. Comme $z\not=0$, on a alors : $$\begin{array}{rl}\dfrac{1}{z}
&=\dfrac{1}{r(\cos\theta+\i\sin\theta}\\
&=\dfrac{1}{r}\times\dfrac{1}{(\cos\theta+\i\sin\theta)}\\
&=\dfrac{1}{r}\times\dfrac{(\cos\theta-\i\sin\theta)}{(\cos\theta+\i\sin\theta)(\cos\theta-\i\sin\theta)}\\
&=\dfrac{1}{r}\times\dfrac{(\cos\theta-\i\sin\theta)}{(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}\\
&=\dfrac{1}{r}\times\dfrac{(\cos\theta-\i\sin\theta)}{1}\\
&=\dfrac{1}{r}\times(\cos\theta-\i\sin\theta)\\
&=\dfrac{1}{r}\times[\cos(-\theta)+\i\sin(-\theta)]\\
\end{array}$$ car la conction $\cos$ est paire et la fonction $\sin$ est impaire.
Par conséquent. Par identification avec la forme trigonométrique de $\dfrac{1}{z}$ on obtient : $$\boxed{~~\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{\abs{z}}~\text{et}~\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\theta=-\arg(z)~[2\pi]~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

2°) Soient $z_1$, $z_2\in\C$, $z_2\not=0$.
On sait que : $$\dfrac{z_1}{z_2}= z_1\times\dfrac{1}{z_2}$$ On utilise les propriétés précédentes. Donc : $$\begin{array}{rl}
\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|&=\abs{z_1}\times\left|\dfrac{1}{z_2}\right|\\
&=\abs{z_1}\times\dfrac{1}{\abs{z_2}}\\
\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|&=\dfrac{\abs{z_1}}{\abs{z_2}}\\ \end{array}$$
De même, on sait que $$\arg(z_1\times z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)$$
On utilise les propriétés précédentes. Donc : $$\begin{array}{rl}
\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) &=\arg\left(z_1 \times\dfrac{1}{z_2}\right)\\
&=\arg(z_1)+\arg\left(\dfrac{1}{z_2}\right)\\
&=\arg(z_1)+[-\arg(z_2)]\\
\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) &=\arg(z_1)-\arg(z_2)~[2\pi]\\ \end{array}$$
Par conséquent. $$\boxed{~~\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\arg(z_1)-\arg(z_2)~[2\pi]~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

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