1. Calcul du quotient de deux nombres relatifs
Définition 1.
Soient $a$ et $b$ deux nombres décimaux, avec $b$ non nul.
Le quotient du nombre $a$ par le nombre $b\not=0$, est le nombre $q$ par lequel on multiplie $b$ pour obtenir $a$. $$\boxed{~a\div b=q~\text{si, et seulement si,}~a=q\times b~}$$ Le quotient $q$ se note en ligne $q=a\div b$, ou sous la forme fractionnaire $\dfrac{a}{b}$, où « le numérateur $a$ est divisé par le dénominateur $b$».
$\dfrac{a}{b}$ représente le quotient exact de la division de $a$ par $b$. $$\boxed{~q=a\div b=\dfrac{a}{b}~}$$
Exemples
- $8\div5 =\dfrac{8}{5}=1,6$. Le quotient est exact. La division s’arrête.
On obtient un nombre décimal. On peut donc utiliser les deux écritures, l’écriture décimale et l’écriture fractionnaire. - $5\div3 =\dfrac{5}{3}\simeq 1,666\ldots$. La division ne s’arrête pas.
- L’écriture fractionnaire donne la valeur exacte du quotient.
- L’écriture décimale donne souvent des valeurs approchées, non exactes quel que soit le niveau de précision. Par exemple :
$5\div3 \simeq 1,7\ldots$ valeur approchée arrondie au dixième près.
$5\div3 \simeq 1,67\ldots$ valeur approchée arrondie au centième près.
$5\div3 \simeq 1,667\ldots$ valeur approchée arrondie au millième près.
et ainsi de suite.
On peut donc utiliser les deux écritures. Mais pour avoir des résultats exacts, on privilégie l’écriture fractionnaire. qui donne la valeur exacte dans tous les cas.
Propriété 1. Règle des signes
Le quotient de deux nombres relatifs $a$ et $b$ est :
$\bullet$ positif lorsque les deux nombres $a$ et $b$ sont de même signe ;
$\bullet$ négatif lorsque les deux nombres $a$ et $b$ sont de signes contraires.
Autrement dit :
$\bullet$ Le signe qu quotient $\dfrac{a}{b}$ est le même que le signe du produit $ab$.
$\bullet$ La distance à zéro des deux nombres est égale au quotient des distances à zéro. $$\begin{array}{|c|}\hline \dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}\\ \hline
\dfrac{a}{-b}=\dfrac{-a}{b}=-\dfrac{a}{b}\\ \hline \end{array}$$
Exemples
1°) $\dfrac{-4,2}{-0,7}=\dfrac{4,2}{0,7}=6$ car les deux nombres sont de même signe donc le quotient est positif et $4,2\div0,7=6$.
2°) $\dfrac{3,2}{-0,08}=-\dfrac{3,2}{0,08}=-40$ car les deux nombres sont de signes contraires donc le quotient est négatif et $3,2\div0,08=4$.
Propriété 2.
Diviser un $a$ par un nombre $b\not=0$, revient à multiplier $a$ par l’inverse du nombre $b$. $$\boxed{\dfrac{a}{b}=a\times\text{inverse de }b=a\times\dfrac{1}{b}~}$$
Exemples
1°) $\dfrac{5}{3}=5\times\dfrac{1}{3}$.
2°) $\dfrac{-7}{8}=(-7)\times\dfrac{1}{8}$.
2. Règles de priorité des opérations
Les règles de priorité apprises en 5ème s’appliquent dans tous les cas.
Dans une suite de calculs sur les nombres relatifs, on effectue les opérations dans l’ordre :
- Opérations entre parenthèses ;
- Les puissances ;
- Les multiplications et les divisions ;
- Les additions et les soustractions.
Nous rencontrerons différentes situations pour transformer les calculs avec des écritures en ligne avec des divisions en des calculs avec des écritures fractionnaires.
Propriété 3.
Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs, avec $b\not=0$. Nous avons les écritures suivantes qui permettent de faire des transformations dans un sens ou dans l’autre. $$\begin{array}{rcl}
a+b\div c &=& a+\dfrac{b}{c}\\
(a+b)\div c &=& \dfrac{a+b}{c}\\
a\div(b+c) &=& \dfrac{a}{b+c}\\
\end{array}$$
3. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Sachant que $a=18$, $b=3$ et $c=5$, calculer et donner la valeur exacte de :
$\begin{array}{rl}
\text{1°) }A=& a+(b\times c)\\
\text{2°) }B=& a+\dfrac{b}{c}\\
\text{3°) }C=& \dfrac{a+b}{c}\\
\text{4°) }D=& \dfrac{a}{b+c}\\
\end{array}$
Exercice résolu n°2.
Sachant que $a=8$, $b=4$ et $c=7$, calculer et donner la valeur exacte de :
1°) $A=a+b\times c$ ;
2°) $B=a+b\div c$ ;
3°) $C=(a+b)\div c$ ;
4°) $D=a\div(b+c)$.