Fonction non dérivable en $a$ ?

La courbe d’une fonction dérivable est parfaitement lisse et bien arrondie et ne possède pas de points anguleux et aucune tangente ou demi-tangente verticale. Dans quelle(s) situation(s) une fonction est-elle non dérivable en $a$.

Définition.
Par le calcul, on distingue trois cas de fonction non dérivable en un point $a\in I$.
1°) Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$, admet une limite égale à $\pm\infty$ lorsque $h$ tend vers~$0$ à gauche ou à droite.
2°) Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$, admet deux limites distinctes (finies ou infinies) à gauche et à droite de $a$, lorsque $h$ tend vers~$0$.
3°) La limite du taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ n’existe pas, lorsque $h$ tend vers~$0$.

Exemple 1.

Exercice résolu n°1.
La courbe suivante représente la fonction racine carrée, définie sur $[0;+\infty[$ par : $f(x)=\sqrt{x}$. Montrer que la fonction racine carrée n’est pas dérivable en $0$.

La fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$. Elle est dérivable sur $]0;+\infty[$, mais non dérivable (à droite) en $0$. Elle admet une demi-tangente verticale à sa courbe en $0$.

Fonction racine carrée non dérivable en $a=0$
Figure 5. $T_0$, demi-tangente verticale à la courbe $C_f$ en $0$. $f$ non dérivable en $2$.

Une droite de pente infinie est une droite verticale (parallèle à l’axe des ordonnées).
La tangente $T_0$ à la courbe au point d’abscisse $0$ est donc une droite parallèle à l’axe des ordonnées (verticale). Elle n’a pas de coefficient directeur ! On peut en déduire que la fonction racine carrée $f :x\mapsto\sqrt{x}$ n’est pas dérivable en $0$.

Pour la fonction $f :x\mapsto \sqrt{x}$, cherchons si la fonction est dérivable en $0$. On a : $$\begin{array}{rl}
\tau(0;0+h) &=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\\
&=\dfrac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}\\
&=\dfrac{\sqrt{h}}{h}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{h}}\\
\end{array}$$
Or, lorsque $x$ tend vers $0$, son inverse $\dfrac{1}{x}$ tend vers $+\infty$. Par conséquent : $$ \dlim_{h\to0}\dfrac{f(1+h)-f(1)} {h}= \dlim_{h\to0} \dfrac{1}{\sqrt{h}} =+\infty$$
Le taux d’accroissement en $0$ de la fonction racine carrée n’admet pas de limite finie. Donc la fonction racine carrée n’est pas dérivable en $1$.

Exemple 2.

Exercice résolu n°2.
On considère la fonction valeur absolue définie sur $\R$ par : $f(x)=\begin{cases}~~x & \text{si $x\geqslant0$,} \\ -x & \text{si }x<0\end{cases}$
1°) Construire la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
2°) Démontrer que la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en $0$.

Fonction valeur absolue non dérivable en $a=0$

2°) Faites le calcul.
La courbe de la fonction valeur absolue, en « V », admet deux demi-tangentes en $0$ avec des coefficients différents, $-1$ à gauche de $0$ et $1$ à droite de $0$. Donc, la fonction valeur absolue est définie en $0$, pas dérivable en $0$.

Exemple 3.

Exercice résolu n°3.
On présente ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}\abs{x^2-4}$ n’est pas dérivable en $x=-2$ et en $x=2$. Expliquez pourquoi.

Corrigé de l’exercice n°5.
1°) La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

Fonction valeur absolue de $f$ non dérivable en $a=-2$ et $a=2$
Figure 6. La courbe $C_f$ admet deux demi-tangentes en $a=-2$ (et en $a=2$). Donc $f$ non dérivable en $-2$ et en $2$.

Au point $A(2;0)$ [comme au point $B(-2;0)$], la courbe forme un angle et admet deux demi-tangentes à gauche et à droite de $a=2$, qui n’ont pas le même coefficient directeur. La fonction $f$ n’est donc pas dérivable en $2$. On dit que la courbe de $f$ admet un point anguleux en chacun de ces deux points.

Exemple n°4

Exercice résolu n°4.
On considère la fonction $f$ suivante définie sur $\R$ par $\begin{cases}f(x)=x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) & \text{si $x\not=0$,} \\ f(0)=0 & \text{si }x=0\end{cases}$.
1°) Calculer le taux d’accroissement de $f$ en $0$.
2°) En déduire que la fonction $f$ n’est pas dérivable en $0$.
3°) Construire la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. Que constatez-vous ?