Qu’est-ce qu’une fonction non dérivable en $a$ ?

La courbe d’une fonction dérivable est parfaitement lisse et bien arrondie et ne possède pas de tangente verticale.

Par le calcul, on distingue trois cas de fonctions non dérivables en un point $a\in I$.

  1. Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$, admet une limite égale à $\pm\infty$ lorsque $h$ tend vers~$0$ à gauche ou à droite.
  2. Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$, admet deux limites distinctes (finies ou infinies) à gauche et à droite de $a$, lorsque $h$ tend vers~$0$.
  3. La limite du taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ n’existe pas, lorsque $h$ tend vers~$0$.

Exemple 1.

Exercice résolu n°1.
La courbe suivante représente la fonction racine carrée, définie sur $[0;+\infty[$ par : $f(x)=\sqrt{x}$. Montrer que la fonction racine carrée n’est pas dérivable en $0$.

La fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$. Elle est dérivable sur $]0;+\infty[$, mais non dérivable (à droite) en $0$. Elle admet une demi-tangente verticale à sa courbe en $0$.

Figure 5. $T_0$, demi-tangente verticale à la courbe $C_f$ en $0$. $f$ non dérivable en $2$.

Une droite de pente infinie est une droite verticale (parallèle à l’axe des ordonnées).
La tangente $T_0$ à la courbe au point d’abscisse $0$ est donc une droite parallèle à l’axe des ordonnées (verticale). Elle n’a pas de coefficient directeur ! On peut en déduire que la fonction racine carrée $f :x\mapsto\sqrt{x}$ n’est pas dérivable en $0$.

Pour la fonction $f :x\mapsto \sqrt{x}$, cherchons si la fonction est dérivable en $0$. On a : $$\begin{array}{rl}
\tau(0;0+h) &=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\\
&=\dfrac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}\\
&=\dfrac{\sqrt{h}}{h}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{h}}\\
\end{array}$$
Or, lorsque $x$ tend vers $0$, son inverse $\dfrac{1}{x}$ tend vers $+\infty$. Par conséquent : $$ \dlim_{h\to0}\dfrac{f(1+h)-f(1)} {h}= \dlim_{h\to0} \dfrac{1}{\sqrt{h}} =+\infty$$
Le taux d’accroissement en $0$ de la fonction racine carrée n’admet pas de limite finie. Donc la fonction racine carrée n’est pas dérivable en $1$.


Exemple 2.

Exercice résolu n°2.
On considère la fonction valeur absolue définie sur $\R$ par : $f(x)=\begin{cases}~~x & \text{si $x\geqslant0$,} \\ -x & \text{si }x<0\end{cases}$
1°) Construire la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
2°) Démontrer que la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en $0$.

2°) Faites le calcul.
La courbe de la fonction valeur absolue, en « V », admet deux demi-tangentes en $0$ avec des coefficients différents, $-1$ à gauche de $0$ et $1$ à droite de $0$. Donc, la fonction valeur absolue est définie en $0$, pas dérivable en $0$.


Exemple 3.

Exercice résolu n°3.
On présente ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}\abs{x^2-4}$ n’est pas dérivable en $x=-2$ et en $x=2$. Expliquez pourquoi.

Corrigé de l’exercice n°5.
1°) La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

Figure 6. La courbe $C_f$ admet deux demi-tangentes en $a=-2$ (et en $a=2$). Donc $f$ non dérivable en $-2$ et en $2$.

Au point $A(2;0)$ [comme au point $B(-2;0)$], la courbe forme un angle et admet deux demi-tangentes à gauche et à droite de $a=2$, qui n’ont pas le même coefficient directeur. La fonction $f$ n’est donc pas dérivable en $2$. On dit que la courbe de $f$ admet un point anguleux en chacun de ces deux points.

Exemple n°4

Exercice résolu n°4.
On considère la fonction $f$ suivante définie sur $\R$ par $\begin{cases}f(x)=x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) & \text{si $x\not=0$,} \\ f(0)=0 & \text{si }x=0\end{cases}$.
1°) Calculer le taux d’accroissement de $f$ en $0$.
2°) En déduire que la fonction $f$ n’est pas dérivable en $0$.
3°) Construire la courbe représentative de $f$ sans un repère orthonormé à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. Que constatez-vous ?