1. Définition d’une suite récurrente

Pour reconnaître une suite récurrente, on se pose la question : Est-ce que je peux écrire le terme $u_n$ à l’aide d’une formule ou une expression en fonction du terme précédent ou des deux termes précédents connaissant le ou les premier(s) terme(s) ?
Si oui, alors la suite $(u_n)$ est bien une suite récurrente. Dans le cas contraire alors, c’est non.

Définition 1.
Une suite $(u_n)$ est dite une suite récurrente lorsque le premier terme est donné et chaque terme de la suite, est défini à l’aide d’une formule ou une expression en fonction du terme précédent. Cette expression s’appelle une formule de récurrence. Et pour tout entier $n\geq1$ on écrit : $$\left\{ \begin{array}{l}u_0\in \R \text{ donné} \\ u_n=f(u_{n-1})\\ \end{array}\right.$$ où $f$ est une fonction numérique de la variable réelle.

Ce type de suite s’appelle une suite récurrente du premier ordre. Le terme $u_n$ s’écrit en fonction du terme précédent $u_{n-1}$.

Remarques
1°) « Le terme précédent de $u_n$ est $u_{n-1}$ ». On obtient donc la formule de récurrence ci-dessus, avec $u_n=f(u_{n-1})$.
Aussi, on peut dire que « Le terme précédent de $u_{n+1}$ est $u_{n}$ ». On obtient donc une deuxième formule de récurrence pour la même suite et pour tout entier $n\geq0$ on écrit :

$$\left\{ \begin{array}{l}u_0\in \R \text{ donné} :\\ u_{n+1}=f(u_{n})\\ \end{array}\right.$$

2°) Par ailleurs, pour le calcul des termes, il est difficile, pour l’instant, de calculer directement $u_{10}$. En effet, puisqu’on connaît $u_{0}$, on peut calculer $u_{1}$, puis $u_{2}$, etc. Il nous faut donc effectuer 10 opérations successives pour calculer $u_{10}$. De même, il nous faudra 50 opérations successives pour calculer $u_{50}$.

Définition 2.
Une suite $(u_n)$ est dite une suite récurrente du deuxième ordre, lorsque les deux premiers termes $u_0$ et $u_1$ sont donnés et chaque terme suivant de la suite, s’écrit à l’aide d’une formule ou une expression en fonction des deux termes précédents de la manière suivante. Pour tout entier $n\geq2$ :
$$\left\{ \begin{array}{l}u_0\in\R, u_1\in\R\text{ donnés}\\ u_n=g(u_{n-1},u_{n-2})\\ \end{array}\right.$$ ou encore, ce qui revient au même, pour tout entier $n\geq0$ : $$\left\{ \begin{array}{l}u_0\in\R, u_1\in\R\text{ donnés} \\ u_{n+2}=g(u_{n},u_{n+1})\\ \end{array}\right.$$

2. Exemples

Exemple 1.
$(u_n)$ est la suite définie pour tout entier $n\geq1$ par : $$\left\{ \begin{array}{l}u_0=1,\\ u_n=3u_{n-1}-4\\ \end{array}\right.$$ La suite $(u_n)$ est elle une suite récurrente ? Si oui, calculer ses quatre premiers termes.

Le premier terme est donné $u_{0}=1$.
De plus, voit bien que chaque terme $u_n$ s’écrit à l’aide d’une formule en fonction du terme précédent $u_{n+1}=f(u_{n})$ où $f(x)=3x-4$. Donc la suite $(u_n)$ est bien une suite récurrente (du premier ordre).

De plus, par hypothèse $\boxed{\;u_0=1\;}$.
$u_1=3\times u_0-4=3\times1-4=-1$ donc : $\boxed{\;u_1=-1\;}$.
$u_2=3\times u_1-4=3\times(-1)-4=-7$ donc : $\boxed{\;u_2=-7\;}$.
$u_3=3\times u_2-4=3\times(-7)-4=-25$ donc : $\boxed{\;u_2=-25\;}$. etc.

Exemple 2.
$(u_n)$ est la suite définie pour tout entier $n\geq2$ par : $$\left\{ \begin{array}{l}u_0=0, u_1=1\\ u_n=u_{n-2}+u_{n-1}\\ \end{array}\right.$$ La suite $(u_n)$ est elle une suite récurrente ? Si oui, calculer ses 6 premiers termes.

Remarque : Cette suite s’appelle la suite de Fibonacci (lire « Fibonatchi »).

Les deux premiers termes sont donnés $u_{0}=0$ et $u_{1}=1$.
De plus, on voit bien que chaque terme $u_n$ s’écrit à l’aide d’une formule en fonction des deux termes précédents $u_{n}=u_{n-2}+u_{n-1}$. Donc la suite $(u_n)$ est bien une suite récurrente (cette fois du deuxième ordre).

De plus, par hypothèse $\boxed{\;u_0=1\text{ et }u_1=1\;}$.
$u_2=u_0+u_1=1$ donc : $\boxed{\;u_2=1\;}$.
$u_3=u_0+u_1=1+1=2$ donc : $\boxed{\;u_3=2\;}$.
$u_4=u_2+u_3=1+2=3$ donc : $\boxed{\;u_4=3\;}$.
$u_5=u_3+u_4=2+3=5$ donc : $\boxed{\;u_5=5\;}$.
$u_6=u_4+u_5=3+5=8$ donc : $\boxed{\;u_3=8\;}$. etc.

Exemple 3.
$(u_n)$ est la suite définie pour tout entier $n$ par : $$u_n=3n^2-4$$ La suite $(u_n)$ est elle une suite récurrente ?
Si oui, calculer ses trois premiers termes.

Le terme $u_n$ est défini par une expression en fonction du rang $n$. Il n’est pas possible d’écrire $u_n$ en fonction du terme précédent. Par conséquent, la suite $(u_n)$ n’est pas une suite récurrente.