1. Définition d’une suite explicite

Pour répondre, on se pose la question : Est-ce que je peux calculer immédiatement le terme $u_{10}$ en utilisant le rang $n=10$ ?
Si oui, les termes de la suite $(u_n)$ sont calculés en fonction de leur rang $n$, donc $(u_n)$ est bien une suite explicite. Par conséquent, dans le cas contraire, c’est non.

Définition.
Une suite $(u_n)$ est définie explicitement ou d’une manière explicite ou simplement une suite explicite lorsque ses termes $u_n$ sont définis directement et en fonction du rang $n$. Donc si $u_n$ s’écrit : $$u_n=f(n)$$ où $f$ est une fonction de la variable réelle.

2. Exemples

Exemple 1.
$(u_n)$ est la suite définie pour tout entier $n$ par : $$u_n=3n-4$$ La suite $(u_n)$ est elle une suite explicite ?
Si oui, calculer ses trois premiers termes puis $u_{10}$ et $u_{50}$.

Le terme $u_n$ est une expression en fonction de $n$. Donc, $(u_n)$ est bien une suite explicite.

De plus, on a : $u_0=3\times 0-4$ donc : $\boxed{\;u_0=-4\;}$.
Par conséquent : $u_1=3\times 1-4$ donc : $\boxed{\;u_1=-1\;}$.
$u_2=3\times 2-4$ donc : $\boxed{\;u_2=2\;}$.
$u_{10}=3\times 10-4$ donc : $\boxed{\;u_{10}=26\;}$.
$u_{50}=3\times 50-4$ donc : $\boxed{\;u_{50}=146\;}$.

Exemple 2.
$(u_n)$ est la suite définie par : $$\left\{ \begin{array}{l}u_0=1, \text{ et pour tout entier }n\geq1 :\\ u_n=3u_{n-1}-4\\ \end{array}\right.$$ La suite $(u_n)$ est elle une suite explicite ?
Si oui, calculer ses trois premiers termes puis $u_{10}$ et $u_{50}$.

Le terme $u_n$ est défini par une expression en fonction du terme précédent $u_{n-1}$ et non directement en fonction du rang $n$. Donc, $(u_n)$ n’est pas une suite explicite.

De plus pour calculer $u_{10}$, il faut connaître $u_{9}$ et pour calculer $u_{9}$, il faut connaître $u_{8}$ et ainsi de suite. Donc, on ne peut pas calculer $u_{n}$ directement en fonction du rang $n$. La suite $(u_n)$ n’est pas une suite explicite.