Les suites arithmétiques jouent un rôle important en mathématiques comme modèles discrets d’évolutions absolues constantes (à croissance linéaire). D’autres part, ce sont des suites qui s’expriment sous une forme récurrente et sous une forme explicite, donc avec une fonction (affine) associée.
Sommaire
- Propriétés des suites arithmétiques
- Éléments de symétrie dans les termes d’une suite arithmétique
- Sommes de termes consécutifs d’une suite
1. Propriétés des suites arithmétiques
Propriété 1.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$. Alors la forme récurrente de la suite $(u_n)$ est donnée pour tout entier $n\geqslant0$ par : $$(P_1)\quad\boxed{~\left\{\begin{array}{l} u_0\in\R\text{ est donné}\\ u_{n+1}=u_n+r\\ \end{array}\right.~}$$
Propriété 2.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$. Alors la forme explicite de la suite $(u_n)$ est donnée pour tout entier $n\geqslant0$ par : $$(P_2)\quad\boxed{~u_{n}=u_0+nr~}$$
Définition 1.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique. On appelle éléments caractéristiques de la suite $(u_n)$, sa raison $r$ et son premier terme $u_0$.
Propriété 3.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$. Alors la connaissance de deux termes de la suite permet de connaitre la raison et le premier terme de la suite $(u_n)$.
Pour tout entier $n\geqslant0$ et tout $p\geqslant0$ on a : $$(P_3)\quad\boxed{~u_{n}-u_{p}=(n-p)r~}$$
En effet : $$\begin{array}{rcl}
u_n&=&u_0+nr\quad(1)\\
u_p&=&u_0+pr\quad(2)\\ \hline
\end{array}$$ En soustrayant membre à membre les 2 égalités $(1) – (2)$, on obtient : $u_{n}-u_{p}=nr-pr$. Les $u_0$ disparaissent par soustraction. D’où : $$\boxed{~u_{n}-u_{p}=(n-p)r~}$$
Exemple 1.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique. On connaît deux termes : $u_{21}=35$ et $u_{26}=20$. Déterminer les éléments caractéristiques de la suite $(u_n)$.
1°) Déterminer la raison de la suite arithmétique $(u_n)$.
2°) En déduire le premier terme $u_0$ de la suite $(u_n)$.
2. Éléments de symétrie dans les termes d’une suite arithmétique
Propriété 4.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$. Alors, pour tout entier $p\geqslant0$ et tout $n\geqslant p$ on a : $$(P_4)\quad\boxed{~u_{p}+u_{n-p}=u_0+u_n~}$$
En effet : $\begin{array}{rcl}
u_{p}+u_{n-p}&=&u_0+pr+ u_0+(n-p)r\\
&=&u_0+pr{\color{brown}{\!\!\!\!\ /}}+u_0+nr-pr{\color{brown}{\!\!\!\!\ /}} \\
&=&u_0+\underbrace{u_0+nr}_{u_n}\\
u_{p}+u_{n-p}&=&u_0+u_n\\
\end{array}$
3. Sommes de termes consécutifs d’une suite
3.1. Nombre de termes consécutifs entre deux rangs d’une suite
Commençons par dénombrer (compter le nombre) des termes :
$\rightarrow$ De 0 à 5 il y a 6 termes, alors que : $5 – 0 = 5$ = nombre de raisons, ou d’intervalles.
$\rightarrow$ Par contre, le nombre de termes = $6 = 5 – 0 +1$ = le nombre de « cordes ».
Finalement, le nombre de termes = différence des rangs$+1$.
Proposition.
Soit $(u_n)$ une suite numérique. Alors le nombre de raisons de $u_p$ à $u_n$ $(n>p)$ est égal à $n-p$ et le nombre de termes de $u_p$ à $u_n$ est égal à $n-p+1$.
Exemple 2.
Soit $(u_n)$ une suite numérique. Combien y a-t-il de termes entre $u_4$ et $u_{17}$ ?
3.2. Somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique
Très souvent, nous avons besoin de calculer le cumul de factures sur une certaine période. Nous avons une formule qui permet de calculer la sommes de termes consécutifs d’une suite $(u_n)$.
Définition 2.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$. Alors, on appelle $S_n$ la somme des $n+1$ premiers termes consécutifs de la suite $(u_n)$ : $$S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_{n-1}+u_n$$
Propriété 5.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$ et $S_n$ la somme des $n+1$ premiers termes consécutifs de la suite $(u_n)$ : $S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_{n-1}+u_n$. Alors $$S_n=\dfrac{\text{Nombre de termes}\times(\text{premier+dernier termes})}{2}\quad(1)$$
Ce qui donne : $$S_n=\dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\quad(2)$$ C’est la formule (1) qu’il faut connaître par coeur !
Remarques
1°) Le nombre de termes entre $u_0$ et $u_n$ est bien $=n-0+1=n+1$.
2°) La même formule s’applique pour calculer la somme $S’_{17}=u_4+u_5+u_6+\cdots+u_{17}$.
En effet : Le nombre de termes est $=17-4+1=14$. le premier terme de la somme est bien $u_4$ et le dernier terme est $u_{17}$. Ce qui donne : $S’_{17}=\dfrac{(17-4+1)(u_4+u_{17})}{2}=$. Donc : $$S’_{17}=\dfrac{14(u_4+u_{17})}{2}$$
Exemple 3.
Calculer la somme de tous les multiples de $3$, compris entre $10$ et $100$.