Propriétés algébriques de la fonction $\ln$

1. La relation fonctionnelle (ou relation fondamentale) de la fonction $\ln$

Propriéte 1.
1°) La fonction logarithme népérien est définie, continue et dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et vérifie la relation (1) suivante. Pour tous réels $x>0$ et $y>0$ : $$\ln (xy)=\ln x+ \ln y\quad(1)$$
2°) Réciproquement, si $f$ est une fonction définie continue et dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et vérifie la relation (2) : $$f (xy)= f ( x)+ f ( y)\quad (2)$$
pour tous réels $x>0$ et $y > 0$, alors il existe un réel $k$ tel que pour tout $x > 0$ : $$f (x) = k \ln x.$$

Définition 1.
La relation (1) s’appelle la relation fonctionnelle de la fonction logarithme népérien.

1°) Soit $x>0$ et $y>0$. On effectue le changement de variable : $X=\ln x$ et $Y=\ln y$. Ce qui équivaut à dire que : $x =\e^X$ et $y=\e^Y$.
D’après la relation fonctionnelle de l’exponentielle, on sait que :
$$\e^{X+Y}=\e^X\times \e^Y$$ Donc : $\e^{X+Y}=xy$.
Or, d’après les propriétés de réciprocité, $\ln{\e^a}=a$, pour tout $a>0$. Donc, en prenant le logarithme népérien des deux membres, on obtient :
$X+Y=\ln(xy)$.
Par conséquent : $\ln x+\ln y=\ln(xy)$ $\blacktriangle$

2°) Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $]0 ;+ \infty[$ et vérifie la relation (2) :
Pour tous réels $x>0$ et $y>0$ : $f (xy)=f (x)+f (y)$ (2)
1ère étape
Pour tout $x>0$, on a : $f (x)=f(x\times1)= f(x)+ f(1)$. En particulier pour $x=1$ : $f (1)= f(1)+ f(1)$ donc $f (1)=0$.

2ème étape
Pour tout $y>0$ fixé, on définit une fonction $g$ sur $]0 ;+\infty[$ par : $$g(x)=f(xy)-f(x)$$ Montrons que la fonction $g$ est constante.

Pour cela, on calcule sa dérivée de deux manières par rapport à $x$ ; $y$ étant considérée comme constante.

$\bullet$ On a d’une part : $g'(x)=yf'(xy)- f'(x)$.
$\bullet$ Et d’autre part, d’après la relation (2), on a $g(x)=f(x)+f(y)-f(x)=f(y) =Constante$, puisque $y$ est fixé. $f (y)$ est une constante (qui ne dépend pas de $x$).
Par conséquent, pour tout $x>0$ : $g'(x) = 0$, puisque $g$ est donc une fonction constante.

Par identification des deux écritures, on en déduit alors que : $yf'(xy)-f'(x)=0$ pour tout $x>0$.
En particulier, pour $x=1$, on peut écrire pour tout $y>0$ : $yf'(y)-f'(1) = 0$.
En posant : $k=f'(1)$, on obtient pour tout $y>0$ :
$$f’(y)=\dfrac{k}{y}=k\times\dfrac{1}{y}\quad(*)$$
Si on pose $h(x)=f(x)–k\times\ln x$, la fonction $h$ ainsi définie est dérivable sur
$]0 ;+\infty[$ et pour tout $x > 0$ : $h'(x)=f'(x)–k\times\dfrac{1}{x}=0$, d’après (*).
Ainsi, la fonction $h$ est constante et pour tout $x>0$ : $h(x)=h(1)=f(1) – k\ln1=0$.
Par conséquent, pour tout $x>0$ : $f(x)-k\ln x=0$. Et par suite : $f (x)=k\ln x$. CQFD.

Conclusion. Il existe un réel $k$ tel que pour tout $x>0$ : $f (x)=k\ln x$. $\blacktriangle$

2. Propriétés algébriques de la fonction $\ln$

Propriété.
Pour tous nombres réels a et b strictement positifs et n un entier relatif, on a les propriétés algébriques suivantes :
$\begin{array}{l}
(P_0) : \quad \ln 1 = 0~\text{ et }~\ln e = 1\\
(P_1) : \quad\ln (ab) = \ln a + \ln b\\
(P_2) : \quad\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a –\ln b\\
(P_3) : \quad\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=\;–\ln b\\
(P_4) : \quad\ln\left(a^n\right)=n\ln a\\
(P_5) : \quad\ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}\ln a\\
\end{array}$

Soit $a>0$ et $b>0$.
$(P_0)$ découle de la définition de la fonction $\ln$.

$(P_1)$ n’est autre que la relation fondamentale démontrée en 1° ci-dessus.

$(P_2)$ On peut écrire : $a=b\times\dfrac{a}{b}$, donc d’après $(P_1)$ on a :
$\ln a=\ln b+\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$. D’où le résultat.

$(P_3)$ On peut écrire : $\ln b+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=\ln\left(b\times \dfrac{1}{b}\right)=\ln1=0$. Et par suite : $\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=–\ln b$.
D’où le résultat.

$(P_4)$ On doit démontrer une propriété dépendant d’un entier $n$, on doit penser à un raisonnement par récurrence. Très facile.

$(P_5)$ On pose : $(\sqrt{a})^2=a$, donc $\ln[(\sqrt{a})^2]=2\ln(\sqrt{a})=\ln a$. D’où le résultat. $\blacktriangle$

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Écrire les expressions suivantes sous la forme $a\ln b$ :
a) $\ln(5^2)+\ln(5^3)$ ;
b) $\ln9+\ln\left(\dfrac{1}{27}\right)$ ;
c) $\ln(2\sqrt{8})-2\ln16$

a) $\ln(5^2)+\ln(5^3)$
D’après les propriétés algébriques du logarithme népérien, on a :
$\begin{array}{rl}
\ln(5^2)+\ln(5^3)&=2\ln5+3\ln5\\
&=5\ln5\\
\end{array}$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;\;\ln(5^2)+\ln(5^3)=5\ln5\;\;}}$. $\blacktriangle$

b) $\ln9+\ln\left(\dfrac{1}{27}\right)$
$\begin{array}{rl}
\ln9+\ln\left(\dfrac{1}{27}\right)&=\ln(9)-\ln(27)\\
&=\ln(3^2)-\ln(3^3)\\
&=2\ln3-3\ln3\\
&=-\ln3\\
\end{array}$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;\;\ln9+\ln\left(\dfrac{1}{27}\right)=-\ln3\;\;}}$. $\blacktriangle$

c) $\ln(2\sqrt{8})-2\ln16$
$\begin{array}{rl}
\ln(2\sqrt{8})-2\ln16)&=\ln2+\ln(\sqrt{4\times2})-2\ln(2^4)\\
&=\ln2+\ln(2\sqrt{2})-2\times4\times\ln2\\
&=\ln2+\ln2+\ln(\sqrt{2})-8\ln2\\
&=2\ln2+\dfrac{1}{2}\ln2-8\ln2\\
&=\left(2+\dfrac{1}{2}-8\right)\ln2\\
&=-\dfrac{11}{2}\ln2\\
\end{array}$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;\;\ln9+\ln\left(\dfrac{1}{27}\right)=-\dfrac{11}{2}\ln2\;\;}}$. $\blacktriangle$

Exercice résolu n°2.
Simplifier les expressions suivantes. Pour tout $x>0$ :
1°) $f(x)=\ln x^2-3\ln(\sqrt{x})$ ;
2°) $g(x)=\ln(x^2\e^{x+1})$.

1°) Pour tout $x>0$ : $f(x)=\ln x^2-3\ln(\sqrt{x})$
$\begin{array}{rl}
f(x)&=\ln x^2-3\ln(\sqrt{x})\\
&=2\ln x-3\times\dfrac{1}{2}\ln x\\
&=2\ln x-\dfrac{3}{2}\ln x\\
&=\dfrac{1}{2}\ln x\\
\end{array}$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;\; f(x)=\ln x^2-3\ln(\sqrt{x})=\dfrac{1}{2}\ln\;\;}}$. $\blacktriangle$

2°) Pour tout $x>0$ : $g(x)=\ln(x^2\e^{x+1})$.
$\begin{array}{rl}
g(x)&=\ln(x^2\e^{x+1})\\
&=\ln(x^2)+\ln(\e^{x+1})\\
&=2\ln(x)+(x+1)\ln(\e)\\
&=x+1+2\ln x\\
\end{array}$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;\; g(x)=\ln(x^2\e^{x+1})=x+1+2\ln x\;\;}}$. $\blacktriangle$

Exercice résolu n°3.

Exercice résolu n°4.

Exercice résolu n°5.

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