Projeté orthogonal d’un point sur un plan. Distance d’un point à un plan dans l’espace
Dans toute la suite, l’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.
1. Projeté orthogonal d’un point sur un plan dans l’espace

Définition 1.
Soit $P$ un plan dans l’espace de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et $A$ un point quelconque de l’espace.
Alors la droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$ est perpendiculaire à $P$ et coupe le plan $P$ en un unique point $H$, appelé le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $P$.
Remarque
$H$ est le projeté orthogonal de tous les points $M$ de la droite $d$ sur le plan $P$.
1. Calcul de la distance d’un point à un plan dans l’espace
Définition 1.
Soit $P$ un plan dans l’espace et $A$ un point quelconque de l’espace. Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $P$. Alors la distance $AH$ s’appelle la distance du point $A$ au plan $P$ et désigne la plus courte distance séparant le point $A$ d’un point quelconque du plan $P$.

Théorème 1.
Soit $P$ un plan dans l’espace de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et $B$ un point quelconque du plan $P$.
Soit $A$ un point quelconque de l’espace et $H$ son projeté orthogonal sur le plan $P$. Alors la distance du point $A$ au plan $P$ est donnée par : $$\boxed{~~\text{dist}(A;P) = AH=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}|}{||\overrightarrow{n}||}~~}$$ En particulier : $$\boxed{~~\text{dist}(A;P) = AH=\dfrac{|\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{n}|}{||\overrightarrow{n}||}~~}$$
Théorème 2.
Soit $P$ le plan d’équation $ax+by+cz+d=0$. Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ un point quelconque de l’espace et $H$ son projeté orthogonal sur le plan $P$. Alors la distance du point $A$ au plan $P$ est donnée par : $$\boxed{~~\text{dist}(A;P) = AH=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}~~}$$
Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Soit $P$ le plan d’équation $2x+3y-4z+5=0$. Soit $A(1;2;3)$.
Calculez la distance de $A$ au plan $P$.
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