Projeté orthogonal d’un point sur un plan. Distance d’un point à un plan dans l’espace

Dans toute la suite, l’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.

1. Projeté orthogonal d’un point sur un plan dans l’espace

Définition 1.
Soit $P$ un plan dans l’espace de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et $A$ un point quelconque de l’espace.
Alors la droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$ est perpendiculaire à $P$ et coupe le plan $P$ en un unique point $H$, appelé le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $P$.

Remarque

$H$ est le projeté orthogonal de tous les points $M$ de la droite $d$ sur le plan $P$.


1. Calcul de la distance d’un point à un plan dans l’espace

Définition 1.
Soit $P$ un plan dans l’espace et $A$ un point quelconque de l’espace. Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $P$. Alors la distance $AH$ s’appelle la distance du point $A$ au plan $P$ et désigne la plus courte distance séparant le point $A$ d’un point quelconque du plan $P$.

$AH$ = Distance d’un point $A$ de l’espace à un plan $P$

Théorème 1.
Soit $P$ un plan dans l’espace de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et $B$ un point quelconque du plan $P$.
Soit $A$ un point quelconque de l’espace et $H$ son projeté orthogonal sur le plan $P$. Alors la distance du point $A$ au plan $P$ est donnée par : $$\boxed{~~\text{dist}(A;P) = AH=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}|}{||\overrightarrow{n}||}~~}$$ En particulier : $$\boxed{~~\text{dist}(A;P) = AH=\dfrac{|\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{n}|}{||\overrightarrow{n}||}~~}$$

Soit $P$ un plan dans l’espace de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et $B\in P$. Soit $A$ un point quelconque de l’espace et $H$ son projeté orthogonal sur le plan $P$.
La droite $(AH)$ a pour vecteur directeur le vecteur $\overrightarrow{n}$ et le projeté orthogonal de $\overrightarrow{AB}$ sur la droite $(AH)$ est le vecteur $\overrightarrow{AH}$. Donc les vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires.
Par conséquent, d’après la définition du produit scalaire par le projeté orthogonal, on a : $$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}
&=& \overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{n}\\
&=& \pm||\overrightarrow{AH}||\times||\overrightarrow{n}||\\
\text{Donc}~:~\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}&=& \pm AH \times||\overrightarrow{n}||\\
\end{array}$$ En prenant la valeur absolue, cela donne : $$AH \times||\overrightarrow{n}||=|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}|$$
Or, le vecteur $\overrightarrow{n}\not=\vec{0}$ donc $||\overrightarrow{n}||\not=0$. On peut donc conclure que :
$$\boxed{~~AH=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}}{||\overrightarrow{n}||}~~}$$
CQFD.$\blacktriangle$


Théorème 2.
Soit $P$ le plan d’équation $ax+by+cz+d=0$. Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ un point quelconque de l’espace et $H$ son projeté orthogonal sur le plan $P$. Alors la distance du point $A$ au plan $P$ est donnée par : $$\boxed{~~\text{dist}(A;P) = AH=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}~~}$$

Soit $P$ le plan d’équation $ax+by+cz+d=0$. Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ un point quelconque de l’espace et $H(x_H;y_H;z_H)$ son projeté orthogonal sur le plan $P$.
D’après le théorème 1, nous savons que : $AH=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}}{||\overrightarrow{n}||}$.
Or $\overrightarrow{AH}\left(\begin{array}{c} (x_H-x_A)\\ (y_H-y_A)\\ (z_H-z_A)\\ \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$.
Donc : $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{n}= a(x_H-x_A)+b(y_H-y_A)+c(z_H-z_A)$.
ou encore : $$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{n}=ax_H+by_H+cz_H-ax_A-by_A-cz_A$$
$H\in P$ donc, $ax_H+by_H+cz_H+d=0$.
Ce qui donne : $ax_H+by_H+cz_H=-d$.
Et par suite : $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{n}= -ax_A-by_A-cz_A-d$.
Par conséquent : $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{n}= -ax_A-by_A-cz_A-d$.
On en déduit que : $|\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{n}|= |ax_A+by_A+cz_A+d|$.
D’autre part, $|\overrightarrow{n}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
Par conséquent : $$\boxed{~~\text{dist}(A;P) = AH=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}~~}$$
CQFD.$\blacktriangle$


Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Soit $P$ le plan d’équation $2x+3y-4z+5=0$. Soit $A(1;2;3)$.
Calculez la distance de $A$ au plan $P$.

D’après le cours, on sait que : $A(1;2;3)$ et $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 2\\ 3\\ -4\\ \end{array}\right)$, vecteur normal au plan $P$. Donc : $$\boxed{~~\text{dist}(A;P) = AH=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{||\sqrt{a^2+b^2+c^2}||}~~}$$
Donc : $$\text{dist}(A;P) = AH=\dfrac{|2\times1+3\times 2-4\times 3+5|}{||\sqrt{2^2+3^2+(-4)^2}||}$$
Ce qui donne : $$\boxed{~~\text{dist}(A;P) = \dfrac{9}{\sqrt{29}}~~}$$
CQFD.$\blacktriangle$