Projection orthogonale sur une droite dans le plan

1. Projection orthogonale

1.1. Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Définition 1.
Soit $d$ une droite et $A$ un point quelconque du plan.
On appelle projeté orthogonal de $A$ sur $d$, le point $A’$ tel que $$A’\in d\quad\text{et}\quad (AA’)\perp d$$ Le point $A’$ est le pied de la perpendiculaire à $d$ passant par $A$.
La transformation géométrique qui à tout point $A$ du plan associe le point $A’$, s’appelle la projection orthogonale sur la droite $d$, qu’on note : $\text{proj}_d$. On écrit alors : $$A’= \text{proj}_d(A)$$

Remarque

Cas particulier. Soit $d$ une droite et $A$ un point quelconque du plan. Alors : $$\text{Si}A\in d\quad\text{alors}\quad \text{proj}_d(A)=A$$

1.2. Projeté orthogonal d’un segment sur une droite

Propriété 1.
Soit $d$ une droite et $A$ et $B$ deux points distincts du plan.
On note $A’$ et $B’$ les projetés orthogonaux sur la droite $d$, de $A$ et $B$ respectivement. Alors le projeté orthogonal du segment $[AB]$ sur la droite $d$ est le segment $[A’B’]$. On a alors :
Si $A’= \text{proj}_d(A)$ et $B’= \text{proj}_d(B)$, alors $$[A’B’]= \text{proj}_d([AB])$$

Remarque

Si $[A’B’]$ est le projeté orthogonal du segment $[AB]$ sur la droite $d$, alors : $$AB=A’B’\quad\text{(ssi)}\quad (AB)//(A’B’)\quad\text{(ssi)}\quad(AB)//d$$

1.3. Conservation du milieu par la projection orthogonale

Propriété 1.
Soit $d$ une droite et $A$ et $B$ deux points distincts du plan.
Alors le projeté orthogonal $M’$ du milieu $M$ du segment $[AB]$ sur $d$, est le milieu du segment projeté $[A’B’]$.

Autrement dit.
Si $M$ es le milieu du segment $[AB]$ et si $M’$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $d$, alors $M’$ est le milieu du segment projeté $[A’B’]$.

2. Distance d’un point à une droite

Définition et propriété 1.
Soit $d$ une droite et $A$ un point quelconque du plan.
On appelle distance du point $A$ à la droite $d$, la plus petite longueur $AM$, où $M\in d$.

Propriété 1.
Soit $d$ une droite et $A$ un point quelconque du plan Alors, la distance du point $A$ à la droite $d$ est égale à $AH$, où $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $d$. On note : $\text{dist}(A, d)=AH$.

Soit M un point quelconque du plan P. Pour tout M=H, le triangle AHM est rectangle en H, donc AM>AH. Ainsi, AH est bien la plus petite des longueurs et d(A,P)=AH.

projeté orthogonal de $A$ sur $d$, le point $A’$ tel que $$A’\in d\quad\text{et}\quad (AA’)\perp d$$ Le point $A’$ est le pied de la perpendiculaire à $d$ passant par $A$.
La distance du point A au plan P est la plus petite des longueurs AM où M∈P.

Théorème et définition 3

le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$ Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l’espace. Soit A, B et C trois points tels que et . Soit H le projeté ortho- gonal de C sur la direction (AB) et K le projeté orthogonal de C sur la direction ortogonale à (AB). Alors : est le projeté orthogonal de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sur la direction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et : (Déf.3)

4.3) Produit scalaire et coordonnées

Théorème et définition 4

le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$ Soient et deux vecteurs non nuls de l’espace. Alors (Déf.4)