Produit scalaire dans le plan

Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Ce qui signifie que : $$\boxed{\;|| \vec{\imath} ||=1,~~ || \vec{\jmath}||=1~~\text{et l’angle}~( \vec{\imath}; \vec{\jmath})=+\dfrac{\pi}{2}\;}$$ On passe de $ \vec{\imath}$ à $ \vec{\jmath}$ par un angle droit, dans le sens positif (sens inverse des aiguilles d’une montre). Les angles sont mesurés à partir de la demi-droite $[Ox)$.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. Alors il existe deux points uniques $A$ et $B$ tels que : $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}~~~\text{et}~~~\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$$ Il y a essentiellement quatre manières de définir le produit scalaire de deux vecteurs.

  1. A l’aide des normes et de l’angle formé par les deux vecteurs ;
  2. A l’aide des normes uniquement ;
  3. A l’aide de la projection orthogonale de l’un des vecteurs sur la direction de l’autre ;
  4. A l’aide des coordonnées dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.

1. Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan

Définition 1.
On appelle produit scalaire des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le nombre réel noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$, défini par : $$\color{brown}{
\begin{array}{|l|}\hline
~\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\cos(\theta)\\ \hline
~\vec{u}\cdot\vec{v}=|| \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OB} ||\cos( \widehat{AOB})\\ \hline
\end{array}}~\text{(Déf.1)}$$ où $\theta=(\vec{u},\vec{v})=\widehat{AOB}$, désigne l’angle orienté des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

On peut en déduire que :
$\bullet$ Le produit scalaire est positif si et seulement si l’angle $(\vec{u},\vec{v})$ est aigu. $$-\dfrac{\pi}{2} < (\vec{u},\vec{v})<\dfrac{\pi}{2}~~(\text{modulo}~2\pi)$$
$\bullet$ Le produit scalaire est négatif si et seulement si l’angle $(\vec{u},\vec{v})$ est obtus. $$\dfrac{\pi}{2} < (\vec{u},\vec{v})<\dfrac{3\pi}{2}~~(\text{modulo}~2\pi)$$

Fig. 1.

EXEMPLES

Exercice résolu n°1.
Avec les notations de la figure 1 ci-dessus, on donne $OA=6$, $OB=4\sqrt{2}$, $OC=5$, $ \theta=\widehat{AOB}=\dfrac{\pi}{4}=45°$ et $\theta’\widehat{AOC}=\dfrac{2\pi}{3}=120°$.
1°) Calculer les produits scalaires des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
2°) Même question pour les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.

1°) Calculer les produits scalaires des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
$$\begin{array}{rcl}
\vec{u}\cdot\vec{v}&=&\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} \\ &=& || \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OB} ||\cos( \widehat{AOB}) \\
&=& OA\times OB\times \cos(\dfrac{\pi}{4}) \\
&=& 6\times 4\sqrt{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
&=& 24\\ \end{array}$$
Conclusion. On en déduit que $$ \boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=24\;}$$

1°) Calculer les produits scalaires des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.
$$\begin{array}{rcl}
\vec{u}\cdot\vec{w}&=&\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC} \\ &=& || \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OC} ||\cos( \widehat{AOC}) \\
&=& OA\times OC\times \cos(\dfrac{3\pi}{2}) \\
&=& 6\times 5\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
&=& 15\sqrt{3}\\ \end{array}$$
Conclusion. On en déduit que $$ \boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{w}= 15\sqrt{3} \;}$$

2. Conséquences immédiates

2.1. Le produit scalaire est commutatif

Propriété 1.
Le produit scalaire est commutatif.
(PS1) : $\qquad$ $\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\;}$

Immédiat. On sait que la fonction cosinus est une fonction paire. Donc : $\cos( \vec{u};\vec{v})=\cos(\vec{v};\vec{u})$.

2.2. Vecteurs orthogonaux

Définition 2.
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dit orthogonaux si, et seulement si, ils ont des directions perpendiculaires. On note : $$\vec{u}\perp\vec{v}~~\text{si, et seulement si,}~~(OA)\perp(OB)$$

Propriété 2. Orthogonalité et produit scalaire.
Deux vecteurs sont orthogonaux, si et seulement si, leur produit scalaire est égal à $0$.
(PS2) : $\qquad$ $\boxed{\;\vec{u}\perp\vec{v}~~\text{si, et seulement si}~~ \vec{u}\cdot\vec{v}=0\;}$

En effet : $\vec{u}\perp\vec{v}$ si, et seulement si, $(\vec{u},\vec{v})=\pm\dfrac{\pi}{2}$ si, et seulement si, $\cos(\vec{u},\vec{v})=0$ si, et seulement si, $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.

2.3. Vecteurs colinéaires

Propriétés 3.
$\bullet$ Si deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de même sens, alors :
(PS3) : $\qquad$ $\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\times||\vec{v}|| \;}$
$\bullet$ Si deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de sens contraires, alors :
(PS3bis) : $\quad$ $\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=-||\vec{u}||\times||\vec{v}|| \;}$

En effet, deux vecteurs colinéaires de même sens $\vec{u}$ et $\vec{v}$, forment un angle égal à $0$ (modulo $2\pi$), donc $\cos(0)=1$.

Et deux vecteurs colinéaires de sens contraires $\vec{u}$ et $\vec{v}$, forment un angle égal à $\pi$ ou $-\pi$ (modulo $2\pi$), donc $\cos(\pi)=-1$.

2.4. Carré scalaire d’un vecteur

Définition 3.
Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan. On appelle carré scalaire de $\vec{u}$ et on note $\vec{u}^2$ le nombre réel : $$\boxed{\;\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}\;}$$

Donc, d’après la propriété (PS3) on peut énoncer :

Propriété 4.
(PS4) : $\qquad$ $\boxed{\;\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=||\vec{u}||^2\;}$

2.5. Calcul de la mesure de l’angle $(\vec{u},\vec{v})$

Si les deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, on peut calculer le cosinus de l’angle qui les sépare. Donc, on on peut en déduire la mesure géométrique de l’angle qui les sépare.

Propriétés 5.
(PS5) : Si $\vec{u}\not=\vec{0}$ et $\vec{v}\not=\vec{0}$, alors : $$\boxed{\;\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||\vec{u}||\times||\vec{v}||}\;}$$

Propriétés algébriques

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont trois vecteurs et $\alpha$ un réel. Alors : (PS1) $\vec{u}\cdot\vec{u}=\vec{v}\cdot\vec{v}$ (commutativité) (PS6) $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{u})=\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{u}$ (distributivité du p.s. par rapport à l’addition) (PS7) $\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})=(\alpha cdot\vec{u})cdot\vec{u}$

Identités remarquables

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs dans l’espace. Alors : (I.R.n°1) $(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}\vec{v}+\vec{v}^2$
on rappelle que $\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=\norm{u}^2$. (I.R.n°2) $(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}\vec{v}+\vec{v}^2$ (I.R.n°3) $(\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2$

Définition 2

le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O, \vec{\imath},\vec{\jmath}) $ Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l’espace. Alors le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel défini par : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\norm{u}^2+\norm{v}^2-\norm{u}^2-\norm{v}^2\right)$ (Déf.2)

Théorème d’AlKashi

le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$ Soit $ABC$ un triangle quelconque. On pose $AB = c$, $AC = b$et $BC = a$ où $a$, $b$et $c$ sont des nombres réels positifs. Alors : (AK1) : $c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\widehat{A})$ où (AK2) : $b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\widehat{B})$ où (AK3) : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{C})$ où

La démonstration est analogue au calcul de l’exemple précédent.

4.2) Produit scalaire et projection orthogonale

Théorème et définition 3

le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$ Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l’espace. Soit A, B et C trois points tels que et . Soit H le projeté ortho- gonal de C sur la direction (AB) et K le projeté orthogonal de C sur la direction ortogonale à (AB). Alors : est le projeté orthogonal de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sur la direction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et : (Déf.3)

4.3) Produit scalaire et coordonnées

Théorème et définition 4

le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$ Soient et deux vecteurs non nuls de l’espace. Alors (Déf.4)