I. Expérience aléatoire
Le calcul des probabilités est un chapitre très important. A partir de statistiques, on peut réaliser la probabilité de réussite d’une molécule pour un médicament. Ou prévoir des événements qui peuvent se produire pour mieux préparer l’avenir d’une commune, etc.
Aléatoire, adjectif = imprévisible ; lié au hasard, arbitraire,
Aléa, nom commun = Au sens propre, tournure non-prévisible que peut prendre un
événement. Au sens commercial, risque financier ou industriel pris vis-à-vis d’un client dont la
situation est soumise à une évolution incertaine. (Wikipédia).
1.1. Vocabulaire des probabilités
Définitions 1.
On dit qu’une expérience est aléatoire si elle vérifie les deux conditions suivantes :
— On peut déterminer parfaitement, par avance, toutes les issues possibles ;
— On ne peut pas prévoir, par avance, laquelle de ces issues sera réalisée.
On appelle univers de l’expérience aléatoire, et on note $\Omega$ (lire Oméga), l’ensemble
formé de toutes les issues possibles de cette expérience.
Un événement est une partie de l’univers, formée d’une ou de plusieurs issues possibles.
Un événement élémentaire est une partie de l’univers, formée d’une seule issue possible.
1.2. Exemples
Exemple 1.
Lancer un dé à 6 faces et noter le chiffre apparent sur la face supérieure, est une expérience aléatoire :
– Il y a 6 issues possibles ;
– L’univers de l’expérience est $\Omega=\{1 ; 2 ;3 ;4 ;5 ;6\}$ ;
– $A$ = « le résultat est pair » est un événement écrit en langage courant; qu’on peut exprimer en langage symbolique comme un ensemble : $A=\{2 ;4 ;6\}$ .
– $B$ = « le résultat est un 6 » est un événement élémentaire écrit en langage courant; qu’on peut exprimer en langage symbolique comme un ensemble : $B=\{6\}$ . Noter que « 6 » est une issue possible, alors que l’événement $B$ est un ensemble qui contient cette seule issue.
Exemple 2.
Lancer une pièce de monnaie à 2 faces « Pile » ou « Face » et noter la face exposée, est une expérience aléatoire :
– Il n’y a que 2 issues possibles ;
– L’univers de l’expérience est $\Omega=\{P ; F \}$ ;
– $A$ = « le résultat est Pile » et $B$ = « le résultat est Face » sont des événements élémentaires écrits en langage courant; qu’on peut exprimer en langage symbolique : $A=\{P\}$ et $B=\{F\}$. $\Omega=\{P ; F\}$ est aussi un événement.
Exemple 3.
Le tirage d’une boule dans une urne qui contient par exemple 10 boules de couleur et
numérotées : 2 blanches $B_1$ et $B_2$ ; 3 rouges, $R_1$, $R_2$ et $R_3$ et 5 vertes $V_1$, $V_2,\ldots$, $V_5$, définit une expérience aléatoire à condition que toutes les boules soient de même dimension et indiscernables au toucher,… sinon…
– Il y a 10 issues possibles ;
– L’univers de l’expérience est $\Omega=\{B_1,B_2,R_1,R_2,R_3,V_1,V_2,V_3,V_4,V_5\}$ ;
– $R$ = « la boule tirée est rouge » est un événement qu’on peut aussi écrire : $R=\{R_1,R_2,R_3\}$.
– $T$ = « la boule tirée porte le numéro 3 » est un événement qu’on peut aussi écrire : $T=\{R_3,V_3\}$.
Exemple 4.
Tirage d’une carte dans un jeu de 52 cartes (pas de joker). Il y a deux couleurs, rouge
et noir et quatre familles : Carreau, Coeur, Pique et Trêfle et il y a des numéros de
1 à 10 et des figures : Valets, Dames et Rois.
– Il y a 52 issues possibles ;
– L’univers $\Omega$ de l’expérience contient les 52 cartes ;
– $A$ = « la carte tirée est un As » est un événement qui contient 4 issues possibles;
– L’événement $F$ = « la carte tirée est une figure » contient 12 issues possibles;
– L’événement $T$ = « la carte tirée est un Trêfle » contient 13 issues possibles.
Définition 2.
L’univers $\Omega$ d’une expérience aléatoire est aussi un événement, qu’on appelle l’événement certain, alors que l’ensemble vide $\emptyset$ s’appelle l’événement vide ou
encore l’événement impossible.
3. Exercices résolus
Exercice résolu 1.