Primitives d’une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$

Dans cette section, nous utilisons la notion d’équation différentielle pour définir la notion de primitive d’une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$. Par définition, la recherche d’une primitive est l’opération inverse de la dérivation, ce qui permet de traiter les cas usuels par lecture inverse du tableau des dérivées de fonctions usuelles ou composées.

1. Solutions d’une équation différentielle $y’=ƒ$

Rappelons qu’une équation différentielle est une équation fonctionnelle, c’est-à-dire dont l’inconnue est une fonction dérivable $y$ de la variable réelle $x$ et qui relie $x$ à $y$ et au moins une de ses dérivées successives sur un intervalle $I$ de $\R$.
Une équation différentielle du premier ordre peut s’écrire sous la forme : $(E)$ : $y’=ay+b$, où $a$ et $b$ sont des fonctions continues de la variable $x\in I$. Les plus simples sont des constantes.

Résoudre l’équation différentielle $(E)$ signifie trouver toutes les fonctions dérivables $y$ définies sur l’intervalle $I$ et à valeurs dans $\R$ vérifiant l’égalité $(E)$ pour tout $x\in I$. On a donc : $$\text{pour tout }x\in I~:\quad y′(x)=a(x)y+b(x)$$


Définitions 1.
Soient $f$ et $F$ deux fonctions définies et continues sur un intervalle $I$ de $\R$.
On considère l’équation différentielle $$\boxed{(E)~:~~ y’=f~}$$ On dit que $F$ est une solution de l’équation différentielle $(E)$ : $y’=f$ lorsque $F$ est dérivable sur $I$ et $F’=f$.
Autrement dit, $F$ est une solution de l’équation différentielle $(E)$ : $y’=f$ lorsque $F$ est dérivable sur $I$ et : $$\text{Pour tout }x\in I~:~~ F'(x)=f(x)$$

Exemple

Exercice résolu n°1.
Résoudre l’équation différentielle $(E_1)~ :~y’=4x$
1°) Déterminer deux solutions de l’équation $(E_1)$.
2°) Déterminer toutes les solutions de l’équation $(E_1)$.

On considère l’équation différentielle $(E_1)~ :~y’=4x$.
1°) La fonction $y_1$ définie sur $\R$ par : $y_1(x)=2x^2+1$ est « UNE » solution de l’équation $(E_1)$. De même la fonction $G$ définie sur $\R$ par : $y_2(x)=2x^2+5$ est aussi « UNE » solution de l’équation $(E_1)$. Ainsi $y_1$ et $y_2$ sont deux « solutions particulières » de l’équation différentielle $y’=4x$ sur $\R$.

2°) Plus généralement, toutes les fonctions du type : $y(x)=2x^2+C$, où $C$ est une constante réelle, est la solution générale de l’équation $(E_1)$, c’est-à-dire la fonction qui donne « TOUTES » les fonctions solutions de l’équation différentielle $(E_1)$.

2. Primitive d’une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$

2.1. Définition d’une primitive

Définition 2.
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$.
On appelle primitive de $f$ sur l’intervalle $I$, toute fonction $F$, définie et dérivable sur $I$ et telle que $F’=f$, c’est-à-dire : $$\text{Pour tout }x\in I~:~~F'(x)=f(x)$$
$F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $I$ si, et seulement si $F$ est une solution de l’équation différentielle $y’=f$ sur $I$.

2.2 Exemple

Exercice résolu n°2.
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=3$.
1°) Déterminer deux primitives $F$ et $G$ de $f$.
2°) Déterminer toutes les primitives de $f$ sur $\R$.

1°) La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=3x$ est une primitive de $f$ sur $\R$ car pour tout $\R$ : $F'(x)=3=f(x)$. $F$ est une première « solution particulière » de l’équation différentielle $y’=f$ sur $\R$.

Mais, alors, la fonction $G$ définie sur $\R$ par : $$G(x)=3x+5$$ est aussi une primitive de $f$ sur $\R$ car, on a aussi $G'(x)=3=f(x)$. Ainsi, $G$ est une deuxième « solution particulière » de l’équation différentielle $y’=f$ sur $\R$.

2°) Plus généralement, toute fonction $G$ définie sur $\R$ par : $$G(x)=3x+C$, où $C$ est une constante réelle, est aussi une primitive de $f$ sur $\R$ qui donne toutes les primitives de $f$ sur $\R$.

La fonction $G$ ainsi définie, donne « La solution générale » de l’équation différentielle $y’=f$ sur $\R$.

2. Propriétés des primitives d’une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$

2.1. Théorème fondamentale

Théorème 1. (Théoème admis ici. Démonstration, Cf. Chapitre Intégration)
Toute fonction définie et continue sur un intervalle $I$ de $\R$, admet des primitives sur $I$.

C’est un résultat fondamental. Nous allons essentiellement utiliser des fonctions usuelles continues, ou des fonctions composées de fonctions continues.
Cependant, Il existe des fonctions qui n’admettent aucune primitive sur aucun intervalle de $\R$.
Par exemple, on note ${\mathbb\Large 1}_\Q$ « la fonction indicatrice de $\Q$ » définie pour tout $x\in\R$, par :
$$ {\mathbb\Large 1}_\Q(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1 &\text{si }~x\in\Q\\
0 &\text{sinon}\\
\end{array}\right.$$
L’ensemble $\Q$ est « dense » dans $\R$ (entre deux nombres réels quelconques, il existe toujours au moins un rationnel). On démontre que cette fonction indicatrice n’est continue en aucun point de $\R$.
Cette fonction n’admet aucune primitive sur aucun intervalle de $\R$.


2.1. Lien entre deux primitives quelconques d’une même fonction

Théorème 1bis.
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ de $\R$. Alors $f$ admet une infinité de primitives sur $I$.

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$.

Soit $F$ est une primitive de $f$ sur $I$. Alors la fonction $G$ définie sur $I$ par :
$G(x)=F(x)+C$, est aussi une primitive de $f$ sur $I$. En effet, pour tout $x\in I$ :
$$G'(x)=(F(x)+C)’=F'(x)+(C )’=f(x)+0=f (x)$$ On a donc : $G’=f$ . Par suite, $G$ est une primitive de $f$ sur $I$. CQFD. $\blacktriangle$


Théorème 2.
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ de $\R$.
Deux primitives quelconques de $f$ diffèrent d’une constante.
Autrement dit : Pour toute (autre) primitive $G$ de $f$ sur $I$, il existe une constante $C\in\R$ telle que : Pour tout $x\in I$ : $G(x)-F(x)=C$. Ce qu’on peut écrire encore : $$\boxed{~~\text{Pour tout } x\in I :\quad G(x)=F(x)+C~~}$$

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$.

Soient $F$ $G$ deux primitives de $f$ sur $I$.
Donc pour tout $x\in I$ : $F'(x)=f (x)$.
Et pour tout $x\in I$ : $G'(x)= f (x)$.

Mais alors, pour tout $x\in I$ : $$(G-F)'(x)=G'(x)-F'(x)=-f(x)-f(x)=0$$
Par conséquent, la fonction $G-F$ est constante sur $I$.
Ce qui montre qu’il existe une unique constante $C\in \R$ telle que : Pour tout $x\in I$ : $(G-F)(x)=C$, donc $G(x)-F(x)=C$, ou encore : $$\text{Pour tout }x\in I : G (x)=F(x)+C$$ CQFD. $\blacktriangle$


Corollaire n°1.
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$. Soit $x_0\in I$ et $y_0\in \R$.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$, vérifiant : $G(x_0)=y_0$. Cette égalité s’appelle une condition initiale.

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$.
Soit $F$ est une primitive de $f$ sur $I$. Soit $G$ toute autre primitive de $f$ sur $I$. Donc : $$G(x)=F(x)+C,\quad C\in \R$$ On a les équivalences suivantes : $$G(x_0)=y_0\quad\text{(ssi)}\quad F(x_0)+C=y_0\quad\text{(ssi)}\quad C=y_0-F(x_0)$$ La valeur de la constante $C$ est déterminée d’une manière unique. D’où le résultat. CQFD.$\blacktriangle$


Remarque

On dit que « $G$ est LA primitive de $f$ sur $I$ qui vérifie la condition initiale $G(x_0)=y_0$ »

Exemple

Exercice résolu n°3.
Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=3$.
Déterminer « LA » primitive $F$ de $f$ qui vérifie la condition initiale $F(1)=5$

« Une » primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par : $F(x)=3x+C$, où $C$ est une constante réelle.
Pour déterminer « LA » primitive $F$ de $f$ qui vérifie la condition initiale $F(0)=5$, il faut calculer la valeur de la constante $C$. On a : $$F(1)=5\quad\text{(ssi)}\quad 3\times1+C=5\quad\text{(ssi)}\quad C=2$$ Par conséquent, la primitive $F$ de $f$ qui vérifie la condition initiale $F(1)=5$, est la fonction définie sur $\R$ par : $F(x)=3x+2$

3.3. Calcul des primitives et opérations sur les fonctions

a) Point méthode

Soit $f$ une fonction définie et continue su un intervalle $I$ de $\R$. En classe de Terminale, nous disposons, pour l’instant, de deux méthodes pour calculer les primitives de $f$.

  • Soit directement, par lecture inverse des deux tableaux des dérivées des fonctions usuelles et des fonctions composées.
  • Soit, par transformation de l’expression de $f$ pour se ramener au cas précédent.

D’autres méthodes existent et seront étudiées et développées dans l’enseignement supérieur.

Remarque

Certaines fonctions, comme la fonction $f : x\mapsto e^{-x^2}$, sont continues sur $\R$ donc admettent des primitives sur $\R$, mais n’ont pas de primitive « explicite », comme composée d’un nombre finie de fonctions usuelles. Voir plus loin [Enseignement Supérieur].

b) Tableaux des primitives des fonctions usuelles

Ce tableau se déduit facilement du tableaux des dérivées des fonctions usuelles : $$\begin{array}{|c|c|}\hline
\text{Fonctions usuelles}&\text{Primitives}\\ \hline
0 & k \\ \hline
a & ax+C \\ \hline
x & \dfrac{x^2}{2}+C \\ \hline
x^2 &\dfrac{x^3}{3}+C \\ \hline
x^3 &\dfrac{x^4}{4}+C \\ \hline
x^n, n\in\Z,\ n\not=-1 &\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C \\ \hline
\dfrac{1}{\sqrt{x}} &2\sqrt{x}+C \\ \hline
\dfrac{1}{x^2} & -\dfrac{1}{x}+C \\ \hline
\e^x &\e^x+C \\ \hline
\e^x &\e^x+C \\ \hline
\dfrac{1}{x}, x>0 &\ln x+C \\ \hline
\sin x & -\cos x \\ \hline
\cos x & \sin x \\ \hline
\end{array}$$

Théorème 4.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et continues et $F$ et $G$ deux primitives de $f$ et $g$ respectivement sur l’intervalle $I$ de $\R$. Alors :
1°) $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur l’intervalle $I$.
2°) $kF$ est une primitive de $kf$ sur l’intervalle $I$, pour tout réel $k$.
3°) Pour tous réels $\alpha$ et $\beta$, $\alpha F+\beta G$ est une primitive de $\alpha f+\beta g$ sur l’intervalle $I$.

Exemple

Exercice résolu n°4.
Soient $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=6x-5\e^x+7$.

La fonction $f$ est définie et continue sur $\R$. Donc, elle admet des primitives, d’après le théorème fondamental.

Et d’après le théorème 3 ci-dessus, on peut « primitiver » la fonction $f$ terme à terme en conservant le coefficient dans chaque terme, et sans oublier la constante finale pour obtenir « toutes » les primitives de $f$ sur $\R$.

On pose alors : $F(x)=6\times \dfrac{x^2}{2}-5\times\e^x+7\times x+C$.
Puis on simplifie et on réduit l’expression de $F(x)$.
Conclusion. Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par : $$\boxed{~F(x)= 3x^2-5e^x+7x+C~}$$

c) Tableaux des primitives des fonctions composées

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$. Alors :
$$\begin{array}{|c|c|}\hline
\text{Fonctions composées}&\text{Primitives}\\ \hline
u’+v’ & u+v+C \\ \hline
ku’ & ku+C \\ \hline
u’u & \dfrac{u^2}{2}+C \\ \hline
u’u^2 &\dfrac{u^3}{3}+C \\ \hline
u’u^3 &\dfrac{u^4}{4}+C \\ \hline
u’u^n, n\in\Z,\\ n\not=-1 &\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C \\ \hline
\dfrac{u’}{\sqrt{u}} &2\sqrt{u}+C \\ \hline
\dfrac{v’}{v^2} & -\dfrac{1}{v}+C \\ \hline
u’\e^u &\e^u+C \\ \hline
\dfrac{u’}{u}, u >0 &\ln u+C \\ \hline
u’\sin u & -\cos u +C\\ \hline
u’\cos u & \sin u+C \\ \hline
\end{array}$$

Exemples

Exercice résolu n°5.
Soient $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x(3x^2+5)^4$.

La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc elle est définie et continue sur $\R$. Donc, elle admet des primitives, d’après le théorème fondamental.

Ici, il n’est pas question de développer pour primitiver terme à terme !
Par contre, on peut observer que $f$ s’écrit comme le produit $u’u^4$ à un coefficient près.
On transforme l’expression de $f(x)$ pour faire apparaître le $u’$ et obtenir la forme d’une dérivée d’une fonction composée.

Pour tout $x\in\R$ On pose $\left\{\begin{array}{rl} u(x)&=(3x^2+5 )\\ u'(x)&= \color{brown}{ 6x}\\ \end{array}\right.$
Pour tout $x\in\R$, on a alors : $f(x)=\dfrac{1}{6}\times\color{brown}{ 6x}\times (3x^2+5)^4 = u'(x)\times [u(x)]^4$.

Or, une primitive de $u’u^4$ est $\dfrac{u^5}{5}$. Donc, une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie pour tout $x\in\R$ par : $$ \dfrac{1}{6} \dfrac{(3x^2+5)^5}{5}+C$$
Conclusion. $$\boxed{~F(x) = \dfrac{1}{30} (3x^2+5)^5 +C~}$$


4. Primitive d’une fonction continue

Démonstration.

Nous allons présenter ici le principe de la démonstration de ce théorème, qui utilise le calcul intégral, dans le cas où $f$ est positive et croissante.

Grâce au calcul intégral, nous allons démontrer que toute fonction définie et continue sur un intervalle $I$, admet des primitives.

Théorème 1. [La démonstration de ce théorème utilise le calcul intégral]
Soit $f$ une fonction définie, continue et positive sur un intervalle $[a;b]$. Alors, la fonction $F$ définie pour tout $x\in[a;b]$ par : $F(x)=\int_a^x f(t)\d t$ est dérivable sur $[a;b]$ et a pour dérivée $f$, c’est-à-dire : pour tout $x\in[a;b]$ : $F'(x)=f(x)$.

Autrement dit : La fonction $F$ est la primitive de $f$ sur $I$ qui s’annule en $a$.

Soit $f$ une fonction définie, continue, positive et croissante sur un intervalle $[a;b]$.
Soit $x\in[a;b]$. Montrons que $F$ est dérivable en $x_0$ et $F'(x_0)=f(x_0)$.

1ère étape : Soit $h>0$.
Cherchons un encadrement du taux d’accroissement : $$\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}$$
$F(x_0+h)$ désigne l’aire sous la courbe $C_f$ entre $a$ et $x_0+h$.
$F(x_0)$ désigne l’aire sous la courbe $C_f$ entre $a$ et $x_0$.
Donc $F(x_0+h)-F(x_0)$ désigne l’aire sous la courbe entre $x_0$ et $x_0+h$. En effet, $F(x_0+h)-F(x_0)=\text{Aire}(ABFC)$.
En effet, $$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}&=& \int_a^{x_0+h} f(t)\d t-\int_a^{x_0} f(t)\d t\\
&=& \int_a^{x_0+h} f(t)\d t+\int_{x_0}^a f(t)\d t\\
&=&\int_{x_0}^a f(t)\d t+\int_a^{x_0+h} f(t)\d t\\
&=&\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\d t\\
\end{array}$$
d’après la relation de Chasles. Par conséquent :
$$\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\d t$$

Comme $h>0$, $F(x_0+h)-F(x_0)$ est compris entre les aires des deux rectangles de base $h=AB$ et de hauteurs $f(x_0)=AC$ et $f(x_0+h)=BF$. Ce qui donne l’encadrement suivant : $$AB\times AC\leqslant F(x_0+h)-F(x_0)\leqslant AB\times BF$$
ou encore : $$h\times f(x_0)\leqslant F(x_0+h)-F(x_0)\leqslant h\times f(x_0+h)$$
En divisant par $h>0$, on obtient : $$f(x_0)\leqslant \dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}\leqslant f(x_0+h)$$ Par suite, d’après le théorème de comparaison, par passage à la limite, on obtient :
$$f(x_0)\leqslant \dlim_{h\to0}\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}\leqslant \dlim_{h\to0}f(x_0+h)$$
Or, par hypothèse, la fonction $f$ est continue sur $[a;b]$, donc, en particulier en $x_0$. Donc :
$\dlim_{h\to0}f(x_0+h)=f(x_0)$. Ce qui donne : $$f(x_0)\leqslant F'(x_0)\leqslant f(x_0)$$ Par conséquent : La fonction $F$ est dérivable à droite en $x_0$ et $F'(x_0)=f(x_0)$.

2ème étape : Soit $h<0$. Une démonstration analogue montre que la fonction $F$ est dérivable à gauche en $x_0$ et $F'(x_0)=f(x_0)$.

Conclusion. La fonction $F$ est dérivable en $x_0$ à droite et à gauche et $F'(x_0)=f(x_0)$. CQFD.$\blacktriangle$


Théorème 4.
Toute fonction définie et continue et positive sur un intervalle $I$ de $\R$ admet des primitives sur cet intervalle.

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ de $\R$.
Montrons que $f$ admet des primitives sur tout intervalle fermé borné $[a;b]$ contenu dans $I$.
Soit $a$, $b\in I$ tels que $a<b$. On admet que la fonction a un minimum $m$ sur $[a;b]$.
La fonction $g:x\mapsto g(x)=f(x)-m$ est définie, continue et positive sur $[a;b]$.
Donc, d’après le théorème 4, la fonction $g$ admet des primitives. Soit $G$ une primitive de $g$ sur l’intervalle $[a;b]$.

Donc, pour tout $[a;b]$ : $G'(x)=g(x)$, donc $G'(x)=f(x)-m$.
Mais alors, pour tout $x\in[a;b]$ : $f(x)=G'(x)+m$.
On définit une nouvelle fonction $F$ sur $[a;b]$ par : $F(x)=G(x)+mx$.
Cette fonction $F$ est dérivable sur $[a;b]$ comme composée de fonctions dérivables. De plus, pour tout $x\in[a;b]$ : $F'(x)=G'(x)+m=f(x)$. Par conséquent : $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$. CQFD $\blacktriangle$


5. Exercices résolus

Exercice résolu n°6.

Exercice résolu n°7.