Primitive d’une fonction continue

Grâce au calcul intégral, nous allons démontrer que toute fonction définie et continue sur un intervalle $I$, admet des primitives.

Théorème 3.
Soit $f$ une fonction définie, continue et positive sur un intervalle $[a;b]$. Alors, la fonction $F$ définie pour tout $x\in[a;b]$ par : $F(x)=\int_a^x f(t)\d t$ est dérivable sur $[a;b]$, et a pour dérivée $f$, c’est-à-dire : pour tout $x\in[a;b]$ : $F'(x)=f(x)$.
Autrement dit : La fonction $F$ est la primitive de $f$ sur $I$, qui s’annule en $a$.

Nous allons présenter ici le principe de la démonstration de ce théorème dans le cas où $f$ est positive et croissante.
Soit $f$ une fonction définie, continue, positive et croissante sur un intervalle $[a;b]$.
Soit $x\in[a;b]$. Montrons que $F$ est dérivable en $x_0$ et $F'(x_0)=f(x_0)$.

1ère étape : Soit $h>0$.
Cherchons un encadrement du taux d’accroissement : $$\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}$$
$F(x_0+h)$ désigne l’aire sous la courbe $C_f$ entre $a$ et $x_0+h$.
$F(x_0)$ désigne l’aire sous la courbe $C_f$ entre $a$ et $x_0$.
Donc $F(x_0+h)-F(x_0)$ désigne l’aire sous la courbe entre $x_0$ et $x_0+h$. En effet, $F(x_0+h)-F(x_0)=\text{Aire}(ABFC)$.
En effet, $$\begin{array}{rcl}
\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}&=& \int_a^{x_0+h} f(t)\d t-\int_a^{x_0} f(t)\d t\\
&=& \int_a^{x_0+h} f(t)\d t+\int_{x_0}^a f(t)\d t\\
&=&\int_{x_0}^a f(t)\d t+\int_a^{x_0+h} f(t)\d t\\
&=&\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\d t\\
\end{array}$$
d’après la relation de Chasles. Par conséquent :
$$\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\d t$$
Comme $h>0$, $F(x_0+h)-F(x_0)$ est compris entre les aires des deux rectangles de base $h=AB$ et de hauteurs $f(x_0)=AC$ et $f(x_0+h)=BF$. Ce qui donne l’encadrement suivant : $$AB\times AC\leqslant F(x_0+h)-F(x_0)\leqslant AB\times BF$$
ou encore : $$h\times f(x_0)\leqslant F(x_0+h)-F(x_0)\leqslant h\times f(x_0+h)$$
En divisant par $h>0$, on obtient : $$f(x_0)\leqslant \dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}\leqslant f(x_0+h)$$ Par suite, d’après le théorème de comparaison, par passage à la limite, on obtient :
$$f(x_0)\leqslant \dlim_{h\to0}\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}\leqslant \dlim_{h\to0}f(x_0+h)$$
Or, par hypothèse, la fonction $f$ est continue sur $[a;b]$, donc, en particulier en $x_0$. Donc :
$\dlim_{h\to0}f(x_0+h)=f(x_0)$. Ce qui donne : $$f(x_0)\leqslant F'(x_0)\leqslant f(x_0)$$ Par conséquent : La fonction $F$ est dérivable à droite en $x_0$ et $F'(x_0)=f(x_0)$.

2ème étape : Soit $h<0$.
Une démonstration analogue montre que la fonction $F$ est dérivable à gauche en $x_0$ et $F'(x_0)=f(x_0)$
Conclusion : La fonction $F$ est dérivable en $x_0$ et $F'(x_0 )=f(x_0)$.
CQFD. $\blacktriangle$

Théorème 5.
Toute fonction définie et continue sur un intervalle $I$ de $\R$ admet des primitives sur cet intervalle.


CQFD.$\blacktriangle$
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ de $\R$.
Montrons que $f$ admet des primitives sur tout intervalle fermé borné $[a;b]$ contenu dans $I$.
Soit $a$, $b\in I$ tels que $a<b$. On admet que la fonction a un minimum $m$ sur $[a;b]$.
La fonction $g:x\mapsto g(x)=f(x)-m$ est définie, continue et positive sur $[a;b]$.
Donc, d’après le théorème 4, la fonction $g$ admet des primitives. Soit $G$ une primitive de $g$ sur l’intervalle $[a;b]$.

Donc, pour tout $[a;b]$ : $G'(x)=g(x)$, donc $G'(x)=f(x)-m$.
Mais alors, pour tout $x\in[a;b]$ : $f(x)=G'(x)+m$.
On définit une nouvelle fonction $F$ sur $[a;b]$ par : $F(x)=G(x)+mx$.
Cette fonction $F$ est dérivable sur $[a;b]$ comme composée de fonctions dérivables. De plus, pour tout $x\in[a;b]$ : $F'(x)=G'(x)+m=f(x)$. Par conséquent : $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$. CQFD $\blacktriangle$

Remarque

Certaines fonctions, comme la fonction $f : x\mapsto e^{-x^2}$, sont continues sur $\R$ donc admettent des primitives sur $\R$, mais n’ont pas de primitive « explicite », comme composée d’un nombre finie de fonctions usuelles. Voir plus loin [Enseignement Supérieur].

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.


CQFD.$\blacktriangle$