Pourquoi les nombres complexes ?

1. Le plus petit ensemble infini

Le plus petit ensemble infini construit par les mathématiciens est l’ensemble $\N$ des nombres entiers naturels, pour le comptage des objets, des animaux et des individus.

Définition 1.
L’ensemble $\N$ des entiers naturels est le plus petit ensemble qui vérifie les deux axiomes suivants :
1°) $0$ appartient à $\N$ : $0\in\N$ ;
2°) Tout élément de $\N$ admet un successeur. Autrement dit, pour tout $x$ : $$\boxed{~[x\in\N\Rightarrow x+1 \in\N]~}$$

On définit dans $\N$ deux opérations « internes » : l’addition et la multiplication. Certaines équations de la forme $x+a=b$ n’admettent pas de solution dans $\N$. Par exemple, l’équation $x+6=2$ n’admet pas de solution dans $\N$.

2. l’ensemble $\Z$ des nombres entiers relatifs

Qu’à cela ne tienne ! On construit alors un nouvel ensemble, noté $\Z$ des nombres relatifs, en adjoignant à $\N$ les opposés de tous les entiers naturels non nuls : $$\Z= \N\cup(-\N)=\left\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\ldots\right\}$$ Dans $\Z$, toutes les équations de la forme $x+a=b$ ont des solutions. Par exemple, l’équation $x+6=2$, a pour solution $x = – 4$. On dit que $\Z$ est une extension algébrique de $\N$ pour les opérations d’addition et de multiplication. Mais, là aussi, certaines équations de la forme $ax=b$, $a\not=0$, n’admettent pas de solution dans $\Z$. Par exemple, l’équation $3x=7$ n’admet pas de solution dans $\Z$.

3. l’ensemble $\Q$ des nombres rationnels

Qu’à cela ne tienne ! On construit un nouvel ensemble, noté $\Q$ des nombres rationnels, qui servent à partager en parts : $$\Q=\left\{\dfrac{a}{b}~\text{tels que}~ a\in\Z~\text{et} ~b\in\N,\, b\not=0\right\}$$ Dans $\Q$, toutes ces équations ont des solutions. Par exemple, l’équation $3x = 7$ pour solution $x = \dfrac{7}{3}$. On dit que $\Q$ est une extension algébrique de $\Z$ pour les opérations d’addition et de multiplication. Mais, là aussi, certaines équations de la forme $x^2=a$, $a > 0$, par exemple l’équation $x^2=2$ pour déterminer la diagonale du carré de côté $1$, n’admettent pas de solution dans $\Q$.

4. l’ensemble $\R$ des nombres réels

Qu’à cela ne tienne ! On construit un nouvel ensemble, noté $\R$ de tous les nombres réels, rationnels ou irrationnels, dans lequel toutes ces équations ont des solutions. Par exemple, l’équation $x^2=2$ a pour solutions $x=-\sqrt{2}$ ou $x=\sqrt{2}$. On dit que $\R$ est une extension algébrique de $\Q$ pour les opérations d’addition et de multiplication. Mais, là encore, certaines équations de la forme $x^2=a$, $a <0$, par exemple $x^2=-1$, n’admettent pas de solution dans $\R$.

5. l’ensemble $\C$ des nombres complexes

Qu’à cela ne tienne ! On construit un nouvel ensemble, noté $\C$ des nombres complexes, en adjoignant à $\R$ un nombre imaginaire noté $\mathbf i$ dont le carré est égal à $-1$ depuis le 16ème siècle ! $\C$ est une extension algébrique de $\R$ pour les opérations d’addition et de multiplication. Cette construction a permis, en premier lieu, de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels, puis de trouver des applications en physique dans différents domaines : électricité, électromagnétisme, relativité,… etc.

L’ensemble $\D$ est l’ensemble des nombres décimaux relatifs.