$\C$ est une extension algébrique de $\R$. Cela signifie donc que, $\R\subset\C$ et pour effectuer des opérations sur les nombres complexes, on garde dans $\C$ les mêmes opérations que dans $\R$ en ajoutant une seule condition : $\boxed{~\i^2=-1~}$.
Ainsi, les opérations d’addition, de soustraction, de multiplication, d’opposé, d’inverse et de division dans $\R$ sont étendues de manière naturelle à l’ensemble $\C$. On obtient donc les définitions suivantes :
1. Les quatre opérations sur $\C$
Définition 1.
Soit $z$ un nombre complexe qui s’écrit sous la forme algébrique $z=a+\i b$, alors l’opposé de $z$ est le nombre complexe $– z = – a –\i b$. Ce qui donne : $$\boxed{~-(a+\i b)=-a-\i b~}$$
En utilisant l’opposé, on peut définir la soustraction sur l’ensemble $\C$ comme suit :
Définition 2.
Soient $z$ et $z’$ deux nombres complexes qui s’écrivent sous la forme algébrique : $z=a+\i b$ et $z’=a’+\i b’$, alors :
La somme de $z$ et $z’$ est définie par : $$\boxed{~z+z’=a+a’+\i(b+b’)~}$$
La différence de $z$ et $z’$ est définie par : $$\boxed{~z-z’=a-a’+\i(b-b’)~}$$
Le produit de $z$ et $z’$ est défini par : $$\boxed{~zz’=(aa’-bb’)+\i(ab’+ba’)~}$$
En effet, si on étend les mêmes opérations sur $\C$ avec les mêmes propriétés, on peut regrouper des termes, changer l’ordre des termes et des facteurs, développer, factoriser,… Ce qui donne :
- $z+z’=(a+\i b)+(a’+\i b’)$ $=a+a’+\i b+ \i b’ $ $= a+a’+\i(b+b’)$.
- $z-z’=(a+\i b)-(a’+\i b’)$ $=a-a’+\i b- \i b’ $ $= a-a’+\i(b-b’)$.
- $zz’=(a+\i b)(a’+\i b’)$ $=aa’+a\i b’+ \i ba’+\i^2 bb’$. Or $\i^2=-1$, donc :
$zz’ =aa’+\i ab’+ \i ba’-bb’$ $=aa’-bb’+\i ab’+ \i ba’ $ $=(aa’-bb’)+\i(ab’+ba’)$.
Remarque très importante
Propriétés 1.
Soient $z$ un nombre complexe non nul, qui s’écrit sous la forme algébrique : $z=a+\i b$. On note $\overline{z}$ le nombre complexe dit conjugué de $z$, défini par $\overline{z}=a-\i b$. Alors : $$\boxed{~~z\overline{z}=\overline{z}z=a^2+b^2~~}$$ Il est clair que $$z\not=0 \Leftrightarrow \overline{z}\not=0$$
En effet, d’après l’identité remarquable IRn°3, on a :
$z\overline{z}=\overline{z}z=(a-\i b)(a+\i b)=a^2-(\i b)^2=a^2-\i^2b^2=a^2+b^2.$ Attention ! Ici c’est $a^2+b^2$ à cause du $\i^2=-1$.
Définition 3.
Soient $z$ et $z’$ deux nombres complexes qui s’écrivent sous la forme algébrique : $z=a+\i b$ et $z’=a’+\i b’$, alors :
L’inverse de $z\not=0$ est défini par : $$\boxed{~~\dfrac{1}{z}=\dfrac{1\times\overline{z}}{z\times\overline{z}}=\dfrac{\overline{z}}{z\overline{z}}~~}$$
Le quotient de $z$ par $z’\not=0$ est défini par : $$\boxed{~~\dfrac{z}{z’}=z\times\dfrac{1}{z’}=\dfrac{\overline{z’}}{z\overline{z’}}~~}$$
Pour calculer l’inverse et le quotient, on procède de la manière suivante.
- $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1\times\overline{z}}{z\times\overline{z}}=\dfrac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\dfrac{(a-\i b)}{a^2+b^2}$. Donc : $$\boxed{~~\dfrac{1}{z}=\dfrac{a}{a^2+b^2}+\i \dfrac{-b}{a^2+b^2}~~}$$
- $\dfrac{z}{z’}=z\times\dfrac{1}{z’}$. Puis on fait le calcul comme ci-dessus en multipliant le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée $(a’-\i b’)$ de $(a’+\i b’)$.
- $\dfrac{z}{z’}=\dfrac{a+\i b}{a’+\i b’}$ $=\dfrac{(a+\i b)(a’-\i b’)}{(a’+\i b’)(a’-\i b’)}$ $=\dfrac{(a+\i b)(a’-\i b’)}{(a’^2+b’^2)}$.
2. Exercices résolus
Exemple résolu n°1.
Soient $z$ et $z’$ les deux nombres complexes qui s’écrivent sous la forme algébrique : $z=3+2\i$ et $z’=1+\i$. Calculer et donner le résultat sous la forme algébrique : $z+z’$, $z-z’$, $zz’$, $\dfrac{1}{z}$ et $\dfrac{z}{z’}$.