Opérations sur les limites de fonctions
1. Formes indéterminées
Définition. [www.cnrtl.fr]
« indéterminé : Qui n’a pas pris de détermination; dont la fonction est vague. 1. En parlant d’une personne ou d’un principe spirituel ou psychique de l’homme : qui n’a pas encore pris de décision ; indécis, irrésolu… ».
En mathématiques, les résultats de certaines opérations sur les limites de suites ou de fonctions sont intuitifs et parfaitement déterminés. D’autres opérations mènent à des « formes indéterminées » (indiquées par $F.I.$ dans la suite), c’est-à-dire qu’elles conduisent à plusieurs résultats possibles, donc qui ne sont pas parfaitement déterminées.
Il faudra alors user de différentes méthodes et de techniques pour « lever l’indétermination ». Notamment, factoriser une somme, développer un produit, séparer une fraction en plusieurs parties, ou multiplier le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée.
Nous pouvons résumer les opérations sur les limites des suites dans les quatre tableaux suivants.
2. Opérations sur les limites
Soit $a$ un nombre réel ou $-\infty$ ou $+\infty$. $\ell$ et $\ell’$ sont des nombres réels.
2.1. Addition et soustraction
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $a$. Le tableau suivant s’obtient d’une manière intuitive et donne les limites de la fonctions $f + g$ lorsqu’elles existent, quand $x$ tend vers $a$.
Pour la soustraction, il suffit d’appliquer la règle $\color{brown}{u-v=u+(-v)}$.
La première forme indéterminée est : $$\color{brown}{\boxed{\;F.I.n°1 :\quad (-\infty)+(+\infty)\;}}$$
$$\begin{array}{|r|c|c|c|}\hline
\color{brown}{\text{Somme}}&\lim g(x)=\ell’ & -\infty & +\infty \\ \hline
\lim f(x)=\ell & \ell+\ell’ & -\infty & -\infty \\ \hline
-\infty & -\infty & -\infty & \color{brown}{F.I.} \\ \hline
+\infty & +\infty &\color{brown}{F.I.} & +\infty \\ \hline
\end{array}$$
2.2. Multiplication
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $a$.
La deuxième forme indéterminée est :
$$\color{brown}{\boxed{\;F.I.n°2 :\quad 0\times\infty\;}}$$
Le tableau suivant s’obtient d’une manière intuitive et donne la limite du produit $f(x)\times g(x)$, lorsqu’elle existe, quand $x$ tend vers $a$, en respectant la règle des signes.
$$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|c|}\hline
\color{brown}{\text{Produit}}&\lim g(x)=0 & \ell'<0 & \ell’>0 & -\infty &+\infty\\ \hline
\lim f(x)=0 & 0 & 0 & 0 & \color{brown}{F.I.} &\color{brown}{F.I.} \\ \hline
\ell<0 & 0 & \ell\ell’ & \ell\ell’ & +\infty &-\infty\\ \hline \ell>0 & 0 & \ell \ell’ & \ell\ell’ &-\infty & +\infty \\ \hline
-\infty &\color{brown}{F.I.}& +\infty & -\infty & +\infty &-\infty \\ \hline
+\infty &\color{brown}{F.I.} & -\infty &+\infty & -\infty &+\infty \\ \hline
\end{array}$$
2.3. Inverse
Soit $g$ une fonction définie au voisinage de $a$ et $g(x)$ ne s’annulant pas au voisinage de $a$ sauf peut être en $a$. Le tableau suivant donne la limite de la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{g(x)}$ lorsqu’elle existe, quand $x$ tend vers $a$.
$$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|c|}\hline
\color{brown}{\text{Inverse}}&\lim g(x)=0^{-} & 0^{+} & \ell\not=0 & -\infty &+\infty\\ \hline
\lim \dfrac{1}{g(x)} & -\infty & +\infty & \dfrac{1}{\ell} & 0 &0 \\ \hline
\end{array}$$
2.4. Quotient
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $a$ et $g(x)$ ne s’annulant pas au voisinage de $a$ sauf peut être en $a$.
La troisième forme indéterminée est :
$$\color{brown}{\boxed{\;F.I.n°3 :\quad \dfrac{\infty}{\infty}\;}}$$
et la quatrième forme indéterminée est :
$$\color{brown}{\boxed{\;F.I.n°4 :\quad \dfrac{0}{0}\;}}$$
Le tableau suivant donne la limite de la fonction $x\mapsto \dfrac{f(x)}{g(x)}$ lorsqu’elle existe, quand $x$ tend vers $a$, avec $\dfrac{f(x)}{g(x)}=f(x)\times\dfrac{1}{g(x)}$ en respectant la règle des signes.
$$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|c|}\hline
\color{brown}{\text{Quotient}}&\lim g(x)=0^{-} & 0^{+} & \ell'<0 & \ell’>0&-\infty &+\infty\\ \hline
\lim f(x)=0^{-} & \color{brown}{F.I.} & \color{brown}{F.I.} &0& 0&0 &0\\ \hline
0^{+} & \color{brown}{F.I.} & \color{brown}{F.I.} &0& 0&0 &0\\ \hline
\ell<0 & +\infty & -\infty &\dfrac{\ell}{\ell’}&\dfrac{\ell}{\ell’} &0 &0\\ \hline
\ell>0 & -\infty & +\infty &\dfrac{\ell}{\ell’}&\dfrac{\ell}{\ell’} &0 &0\\ \hline
-\infty & +\infty & -\infty & +\infty &-\infty&\color{brown}{F.I.} &\color{brown}{F.I.}\\ \hline
+\infty & -\infty & +\infty & -\infty &+\infty&\color{brown}{F.I.} &\color{brown}{F.I.}\\ \hline
\end{array}$$
3. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Calculer $\dlim_{x\to +\infty}3x^2+\sqrt{x}-7$.
Exercice résolu n°2.
Calculer $\dlim_{x\to +\infty}2x^2-3x+5 = ?$
Exercice résolu n°3.
Calculer $\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\left(5x^2 + 1\right)$
Exercice résolu n°4.
On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{3x+2}{x-1}$
1°) Déterminer le domaine de définition de $f$.
2°) Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
3°) Interpréter graphiquement les résultats de la question 2°.
Exercice résolu n°5. Calculer les limites suivantes :
1°) $f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x^3-1}$ en $a=1$
2°) $g(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ en $a=1$.
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