Opérations sur les limites de fonctions

1. Formes indéterminées

Définition. [www.cnrtl.fr]
« indéterminé : Qui n’a pas pris de détermination; dont la fonction est vague. 1. En parlant d’une personne ou d’un principe spirituel ou psychique de l’homme : qui n’a pas encore pris de décision ; indécis, irrésolu… ».

En mathématiques, les résultats de certaines opérations sur les limites de suites ou de fonctions sont intuitifs et parfaitement déterminés. D’autres opérations mènent à des « formes indéterminées » (indiquées par $F.I.$ dans la suite), c’est-à-dire qu’elles conduisent à plusieurs résultats possibles, donc qui ne sont pas parfaitement déterminées.

Il faudra alors user de différentes méthodes et de techniques pour « lever l’indétermination ». Notamment, factoriser une somme, développer un produit, séparer une fraction en plusieurs parties, ou multiplier le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée.

Nous pouvons résumer les opérations sur les limites des suites dans les quatre tableaux suivants.

2. Opérations sur les limites

Soit $a$ un nombre réel ou $-\infty$ ou $+\infty$. $\ell$ et $\ell’$ sont des nombres réels.

2.1. Addition et soustraction

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $a$. Le tableau suivant s’obtient d’une manière intuitive et donne les limites de la fonctions $f + g$ lorsqu’elles existent, quand $x$ tend vers $a$.
Pour la soustraction, il suffit d’appliquer la règle $\color{brown}{u-v=u+(-v)}$.
La première forme indéterminée est : $$\color{brown}{\boxed{\;F.I.n°1 :\quad (-\infty)+(+\infty)\;}}$$
$$\begin{array}{|r|c|c|c|}\hline
\color{brown}{\text{Somme}}&\lim g(x)=\ell’ & -\infty & +\infty \\ \hline
\lim f(x)=\ell & \ell+\ell’ & -\infty & -\infty \\ \hline
-\infty & -\infty & -\infty & \color{brown}{F.I.} \\ \hline
+\infty & +\infty &\color{brown}{F.I.} & +\infty \\ \hline
\end{array}$$

2.2. Multiplication

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $a$.
La deuxième forme indéterminée est :
$$\color{brown}{\boxed{\;F.I.n°2 :\quad 0\times\infty\;}}$$
Le tableau suivant s’obtient d’une manière intuitive et donne la limite du produit $f(x)\times g(x)$, lorsqu’elle existe, quand $x$ tend vers $a$, en respectant la règle des signes.
$$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|c|}\hline
\color{brown}{\text{Produit}}&\lim g(x)=0 & \ell'<0 & \ell’>0 & -\infty &+\infty\\ \hline
\lim f(x)=0 & 0 & 0 & 0 & \color{brown}{F.I.} &\color{brown}{F.I.} \\ \hline
\ell<0 & 0 & \ell\ell’ & \ell\ell’ & +\infty &-\infty\\ \hline \ell>0 & 0 & \ell \ell’ & \ell\ell’ &-\infty & +\infty \\ \hline
-\infty &\color{brown}{F.I.}& +\infty & -\infty & +\infty &-\infty \\ \hline
+\infty &\color{brown}{F.I.} & -\infty &+\infty & -\infty &+\infty \\ \hline
\end{array}$$

2.3. Inverse

Soit $g$ une fonction définie au voisinage de $a$ et $g(x)$ ne s’annulant pas au voisinage de $a$ sauf peut être en $a$. Le tableau suivant donne la limite de la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{g(x)}$ lorsqu’elle existe, quand $x$ tend vers $a$.
$$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|c|}\hline
\color{brown}{\text{Inverse}}&\lim g(x)=0^{-} & 0^{+} & \ell\not=0 & -\infty &+\infty\\ \hline
\lim \dfrac{1}{g(x)} & -\infty & +\infty & \dfrac{1}{\ell} & 0 &0 \\ \hline
\end{array}$$

2.4. Quotient

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $a$ et $g(x)$ ne s’annulant pas au voisinage de $a$ sauf peut être en $a$.
La troisième forme indéterminée est :
$$\color{brown}{\boxed{\;F.I.n°3 :\quad \dfrac{\infty}{\infty}\;}}$$
et la quatrième forme indéterminée est :
$$\color{brown}{\boxed{\;F.I.n°4 :\quad \dfrac{0}{0}\;}}$$
Le tableau suivant donne la limite de la fonction $x\mapsto \dfrac{f(x)}{g(x)}$ lorsqu’elle existe, quand $x$ tend vers $a$, avec $\dfrac{f(x)}{g(x)}=f(x)\times\dfrac{1}{g(x)}$ en respectant la règle des signes.
$$\begin{array}{|r|c|c|c|c|c|c|}\hline
\color{brown}{\text{Quotient}}&\lim g(x)=0^{-} & 0^{+} & \ell'<0 & \ell’>0&-\infty &+\infty\\ \hline
\lim f(x)=0^{-} & \color{brown}{F.I.} & \color{brown}{F.I.} &0& 0&0 &0\\ \hline
0^{+} & \color{brown}{F.I.} & \color{brown}{F.I.} &0& 0&0 &0\\ \hline
\ell<0 & +\infty & -\infty &\dfrac{\ell}{\ell’}&\dfrac{\ell}{\ell’} &0 &0\\ \hline
\ell>0 & -\infty & +\infty &\dfrac{\ell}{\ell’}&\dfrac{\ell}{\ell’} &0 &0\\ \hline
-\infty & +\infty & -\infty & +\infty &-\infty&\color{brown}{F.I.} &\color{brown}{F.I.}\\ \hline
+\infty & -\infty & +\infty & -\infty &+\infty&\color{brown}{F.I.} &\color{brown}{F.I.}\\ \hline
\end{array}$$

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Calculer $\dlim_{x\to +\infty}3x^2+\sqrt{x}-7$.

Corrigé.
Aucun problème. $\dlim_{x\to +\infty}3x^2=+\infty$ ; $\dlim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty$ et $-7$ est une constante. Donc, par somme des limites, on a :
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;\dlim_{x\to +\infty}3x^2+\sqrt{x}-7 = +\infty\;}}$

Exercice résolu n°2.
Calculer $\dlim_{x\to +\infty}2x^2-3x+5 = ?$

Corrigé.
Ici, $\dlim_{x\to +\infty}2x^2=+\infty$ ; $\dlim_{x\to +\infty}-3x=-\infty$.
Nous avons donc une F.I. $+\infty+(-\infty)$. Il faut transformer l’écriture de la suite pour lever l’indétermination.
Pour cela « on met en facteur le monôme de plus haut degré ».

On a alors, pour tout $x\not=0$ :
$2x^2 – 3x +5 = 2x^2 \left(1-\dfrac{3x}{2x^2}+\dfrac{5}{2x^2}\right)$.
Donc en simplifiant le deuxième terme :
$2x^2 – 3x +5 = 2x^2\left(1-\dfrac{3}{2x}+\dfrac{5}{2x^2}\right)$.
Or, $\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{-3}{2x}=0$ et $\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{5}{2x^2}=0$.
Donc, par somme des limites, on a : $\dlim_{x\to +\infty} \left(1-\dfrac{3}{2x}+\dfrac{5}{2x^2}\right)=1$.
De plus, $\dlim_{x\to +\infty}2x^2=+\infty$.
Donc, par produit des limites on a :
$\dlim_{x\to +\infty}2x^2 \left(1-\dfrac{3}{2x}+\dfrac{5}{2x^2}\right)=+\infty \times 1 = +\infty$.
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;\dlim_{x\to +\infty}2x^2-3x+5 = +\infty\;}}$

Exercice résolu n°3.
Calculer $\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\left(5x^2 + 1\right)$

Corrigé.
On sait que : $\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0$ et $\dlim_{x\to+\infty}\left(5x^2 + 1\right)=+\infty$. Donc, par produit des limites, nous obtenons donc une F.I. $0\times\infty$.
Il faut transformer l’écriture de la suite pour lever l’indétermination.
Pour cela « on développe l’expression de la suite ».
On a alors : $\dfrac{1}{x}\left(5x^2 + 1\right)= \dfrac{5x^2}{x}+ \dfrac{1}{x} = 5x+\dfrac{1}{x}$.
Or $\dlim_{x\to+\infty}5x=+\infty$ et $\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x} =0$.
Donc, par somme des limites, on a : $\dlim_{x\to+\infty}5x+\dfrac{1}{x} =+\infty$.
Conclusion : $\color{brown}{\boxed{\;\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\left(5x^2 + 1\right) =+\infty\;}}$

Exercice résolu n°4.
On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{3x+2}{x-1}$
1°) Déterminer le domaine de définition de $f$.
2°) Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
3°) Interpréter graphiquement les résultats de la question 2°.

Corrigé.
1°) Pour tout $x\in\R$, on a :
$x\in D_f\Leftrightarrow x-1\not=0\Leftrightarrow x\not=1$.
Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\;D_f=\R\setminus\{ 1 \}\;}}$$
Pour les besoins de la question suivante, on peut écrire le domaine de définition de $f$ sous la forme de réunion d’intervalles. On a alors :
$$\color{brown}{\boxed{\;D_f=]-\infty;1[\cup]1;+\infty[\;}}$$

2°) Nous avons quatre limites à calculer : en $\pm\infty$ et en $1$ à gauche et à droite.
a) Limite en $-\infty$.
$f$ est une fonction quotient. On calcule donc les limites du numérateur et du dénominateur quand $x$ tend vers $-\infty$.
Or, $\dlim_{x\to-\infty}(3x+2)=-\infty$ et $\dlim_{x\to-\infty}(x-1)=-\infty$.
Donc $\dlim_{x\to-\infty}f(x)$ est une forme indéterminée de la forme $\dfrac{\infty}{\infty}$. Il faut donc transformer l’écriture pour « lever l’indétermination ».
Pour tout $x\in D_f$ et $x\not=0$, on a :
$$f(x)=\dfrac{3x+2}{x-1}=\dfrac{3x\left(1+\dfrac{2}{3x}\right)}{x\left(1-\dfrac{1}{x}\right)}$$
On simplifie par $x$ et on obtient :
$$f(x)=\dfrac{3\left(1+\dfrac{2}{3x}\right)}{\left(1-\dfrac{1}{x}\right)}$$
Or, la limite de chacune des parenthèses au numérateur et au dénominateur tend vers $1$ quand $x$ tend vers $-\infty$. Donc, par produit et quotient des limites, on obtient :
$\dlim_{x\to-\infty}\dfrac{3\left(1+\dfrac{2}{3x}\right)}{\left(1-\dfrac{1}{x}\right)}=3$.

Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\;\dlim_{x\to-\infty}f(x)=3\;}}$

b) Limite en $+\infty$.
D’une manière analogue, on démontre que :
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\;\dlim_{x\to-\infty}f(x)=3\;}}$

Remarque. Cette manière de procéder en disant « D’une manière analogue,…» est tout à fait acceptable :
$\bullet$ par le correcteur, car il aura vu la première démonstration et il sait donc que vous savez la faire. De plus cela lui fait gagner du temps de correction.
$\bullet$ Pour vous, car « écrire deux fois la même chose » est inutile. De plus, cela vous fait gagner du temps pour s’attaquer aux autres questions.

c) Limites en $1$.
Il s’agit d’une fonction quotient. On calcule alors les limites du numérateur et du dénominateur quand $x$ tend vers $1$.
D’une part, on a $\dlim_{x\to1}(3x+2)=5$ et $\dlim_{x\to1}(x-1)=0$.
D’autre part $\dfrac{5}{0}$ est une forme indéterminée. Il faut préciser s’il s’agit d’un $0^{-}$ ou un $0^{+}$. On doit donc calculer les limites à droite et à gauche.
On distingue deux cas possibles :

1er cas : Limite en $1$ à gauche.
$$\begin{array}{rcl}
x\to1^{-}&\Leftrightarrow &x\to1\text{ et }x<1\\
&\Leftrightarrow &(x-1)\to0\text{ et }x-1<0\\
&\Leftrightarrow &(x-1)\to0^{-}\\
&\Leftrightarrow &\dfrac{1}{(x-1)}\to-\infty \\
\end{array}$$
Par conséquent : $\dlim_{x\to1^{-}}\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac{5}{0^{-}}=-\infty$.
Conclusion 3. $\color{brown}{\boxed{\;\dlim_{x\to1^{-}}\dfrac{x+2}{x-1}=-\infty\;}}$

2ème cas : Limite en $1$ à droite.
D’une manière analogue, on démontre que :
Conclusion 4. $\color{brown}{\boxed{\;\dlim_{x\to1^{+}}\dfrac{x+2}{x-1}=+\infty\;}}$

Corrigé.
3°) On sait que les deux limites en $-\infty$ et $+\infty$ sont égales et $\dlim_{x\to\pm\infty}f(x)=3$. Donc, la droite d’équation $y=3$ est une asymptote horizontale à la courbe vers $-\infty$ et vers $+\infty$.
D’autre part, $\dlim_{x\to1^{-}}f(x)=-\infty$ et $\dlim_{x\to1^{+}}f(x)=+\infty$, donc la droite d’équation $x=1$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$.

Exercice résolu n°5. Calculer les limites suivantes :
1°) $f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x^3-1}$ en $a=1$
2°) $g(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ en $a=1$.

Corrigé.