Connaître le système de numération décimale de positions pour l’écriture des nombres entiers est un attendu qui doit être un acquis à la fin du cycle 2 des apprentissages fondamentaux. La lecture et l’écriture des (grands) nombres entiers devrait être un réflexe en classe de 6ème.

Connaître les unités de la numération décimale de positions pour les nombres entiers : unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards ainsi que les relations qui les lient.

1. Qu’est-ce qu’un système de numération ?

Un système de numération est un ensemble de règles d’utilisation de signes, de mots ou de gestes permettant d’écrire, d’énoncer ou de mimer les nombres (Wikipédia). C’est une méthode d’écriture des nombres.

On connaît bien le système de numération avec des chiffres romains. C’est plutôt un système additif et soustractif de juxtaposition. On additionne les chiffres qui sont à droite, on soustrait les chiffres inférieurs qui sont à gauche, avec des nombres de références : $\text{I}=1$, $\text{V}=5$, $\text{X}=10$, $\text{L}=50$, $\text{C}=100$, $\text{D}=500$, et $\text{M}=1000$.
Une Barre supérieure qui compte le nombre de mille à partir de 3999. On écrit par exemple : $4\,000=\overline{\text{IV}}$. (Découvrir la numération en chiffres romains).

Mais ce système de numération en chiffres romains ne permet pas de faire des calculs, ni de poser des opérations aussi simples soient-elles.

2. Qu’est-ce que le système de numération décimal de position ?

Depuis l’enseignement primaire, nous comptons des objets entiers ; puis nous les regroupons par paquets de 10 objets ; puis nous regroupons les paquets par boîtes de 10 paquets, et ainsi de suite…

Le petit cube jaune est l’unité. 1u = 1 unité = 1 Petit cube jaune ;
La réglette verte = 1 dizaine d’unités. 1d = 10 unités = 10 petits cubes
La plaquette bleue = 1 centaine d’unités. 1c = 100 unités = 10 réglettes
Le grand cube rouge = 1 millier d’unités. 1m = 1 mille = 1000 unités = 10 plaquettes

Définition 1.
Dire que ce système est « décimal » revient à dire que l’on effectue des groupement par paquets dix.

On choisit une unité = 1u, puis on forme :
1d = Un paquet de 10 unités = 1 dizaine d’unités =
1c = Une boîte de 10 dizaines = 1 centaine d’unités = 1c.
1m = Un carton de 10 centaines = 1 millier d’unités
et ainsi de suite…

Définition 2.
Ce système de numération est dit « de position » revient à dire que, dans l’écriture d’un nombre, chaque chiffre a une signification différente selon sa position dans l’écriture du nombre.

3. Exercices résolus

Eercice résolu 1. (Cycle 2)
Écrire en toutes lettres les nombres : $A=4c~5d~3u$ et $B=6c~5d~27u$.

Corrigé
$\begin{array}{rcl} A &=& 4c~5d~3u\\
&=&4\text{centaines}+5\text{dizaines}+3\text{unités}\\
&=&4\times 100+5\times 10+3\times 1\\
&=&400+50+3\\
&=&\color{brown}{\boxed{\;453\;}}\end{array}$$

Dans 8289, les deux chiffres « 8 » n’ont pas la même signification.
$8289 = 8\times 1000 + 2\times 100 + 8\times 10 + 9\times 1$.
$8289 = 8$ milliers + $2$ centaines + $8$ dizaines + $9$ unités simples.
$8289 =$ Huit mille deux cent quatre-vingt-neuf.
Ainsi, le premier « $8$ » désigne le chiffre des mille ; le second « 8 » désigne le chiffre des dizaines.

1.2. Écriture de tous les nombres entiers

Propriété.
Vingt-six mots différents et la conjonction de coordination « et », permettent d’écrire tous les nombres entiers jusqu’à plus de 999 milliards :
« zéro », « un », « deux », « trois », « quatre », « cinq », « six », « sept », « huit », « neuf », « dix », « onze », « douze », « treize », « quatorze », « quinze », « seize», « vingt », « trente », « quarante », « cinquante », « soixante » « cent », « mille », « million », « milliard » et enfin le mot « et ».

Exemples
Voici trois nombres écrits (en toutes lettres) avec des mots :
1°) Avec l’orthographe traditionnelle, on met des traits d’union uniquement pour les nombres inférieurs à 100.
__a) Trente-et-un.
__b) Trois mille quatre cent vingt-et-un.
__c) Quinze milliards quatre cent soixante-cinq millions trois cents quatre-vingt-cinq.
2°) Avec la nouvelle orthographe, on met des traits d’union « partout » pour relier tous les mots du nombre. Par exemple : Trois-mille-quatre-cent-vingt-et-un.

Un « nombre » s’écrit souvent avec des « chiffres ».
Les dix chiffres du système de numération décimale sont : $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ et $9$.

Exemples
Voici les trois nombres donnés ci-dessus, écrits avec des chiffres :
$31$ ; $3421$ et $15\; 465\; 385$

3. Groupement en classes

3.1. Comment lire un nombre entier ?

Ce système d’écriture repose sur les dix chiffres et sur l’utilisation des puissances de $10$. On l’appelle système de numération en base 10 ou système de numération décimale de position.

Les « puissances de 10 » sont : $1$ (pour les unités), $10$ (dizaines), $100$ (centaines), $1000$ (mille ou milliers), $10\,000$ (dizaines de mille),… etc.

Dans l’écriture d’un nombre entier, la position de chaque chiffre détermine sa signification et ce qu’il représente : unités, dizaines, centaines, mille, dizaines de mille, centaines de mille,… etc.

Chaque nombre entier est découpé en groupes de trois chiffres appelés des « classes », formées à partir de la droite, et séparées par un petit blanc (on dit aussi une espace). On fait une exception lorsque le nombre est composé de quatre chiffres, comme $2345$. L’espace est facultatif. Nous connaissons déjà les classes suivantes :

  • la classe des unités simples
  • La classe des mille
  • La classe des millions
  • La classe des milliards

Chaque classe est constituée de trois chiffres (c-d-u = centaines – dizaines – unités) de la classe.

3.2 Comment écrire un nombre en toutes lettres

Eercice résolu 1.
Lire et écrire en toutes lettres le nombre : $59012345678$.

Corrigé
On commence par regrouper les chiffres, trois par trois, à partir de la droite.
Je lis : 8,7,6 et je mets une barre au crayon ;
puis 5,4,3 et je mets une barre,
puis 2,1,0 et je mets une barre, pour terminer avec 9 et 5.
J’écris le nombre avec les barres pour séparer les classes :
$$\begin{matrix} 59\color{brown}{|}012\color{brown}{|}345\color{brown}{|}678\\
\longleftarrow\;\longleftarrow\;\longleftarrow\;\longleftarrow\; \\
\end{matrix}$$
ou encore, en remplaçant les barres par un petit blanc entre les classes :
$$59\;012\;345\;678$$
Une fois le nombre découpé en classes de trois chiffres à partir de la droite, on commence à lire le nombre à partir de la gauche, classe par classe.
Conclusion.
$59\;012\;345\;678$ = $59$ milliards, $0\!\!\! /12$ millions, $345$ mille, $678$ unités ;
que j’écris ensuite en toutes lettres sans lire le $0$ à gauche dans la classe des millions :
Cinquante-neuf milliards, douze millions, trois cent quarante-cinq mille, six cent soixante-dix-huit.

3.4. Décomposer un nombre entier suivant les puissances de 10

Eercice résolu 2.
Décomposer le nombre entier $3245$ suivant les puissances de $10$.

On rappelle que les puissances de 10 sont : $1$ (pour les unités), $10$ (dizaines), $100$ (centaines), $1000$ (unités de mille ou de milliers), $10\,000$ (dizaines de mille),… etc.

On peut utiliser plusieurs méthodes :
$3245$ = Trois mille + deux cents + quarante + cinq.

$3245$=$3$000+$2$00+$4$0+$5$.

Ce qui donne :
$3245$=$3\times$1000 + $2\times$100 + $4\times$10 + $5\times$1.

Exercice résolu 3. Faites-le vous-même !
1°) Lire le nombre : $2910345678$.
2°) Écrire ce nombre en toutes lettres
3°) Écrire ce nombre entier suivant les puissances de $10$.
4°) Déterminer la position de chacun de ses chiffres.

1°) On commence par regrouper les chiffres par trois à partir de la droite. 8,7,6, je mets une barre au crayon; puis 5,4,3, je mets une barre,puis 9,1,0, je mets une barre. Il reste le 2. J’écris le nombre en laissant un petit blanc entre les classes :
$$2\;910\;345\;678$$
— La première classe à partir de la droite est la classe des unités simples.
— La deuxième classe à partir de la droite est la classe des mille.
— La troisième classe à partir de la droite est la classe des millions.
Ce qui donne : $2 milliards, $910$ millions, $345$ mille, $678$ unités.

2°) $2\;910\;345\;678$ s’écrit en toutes lettres : Deux milliards, neuf cents dix millions, trois cent quarante-cinq mille, six cent soixante-dix-huit.

3°) Écriture du nombre entier $2910345678$ suivant les puissances de $10$.
Je commence à partir de la droite pour fixer les idées :
$2\;910\;345\;678= 8\times 1$.
$\phantom{2\;910\;345\;678}+7\times 10$
$\phantom{2\;910\;345\;678}+6\times 100$
$\phantom{2\;910\;345\;678}+5\times 1\;000$
$\phantom{2\;910\;345\;678}+4\times 10\;000$
$\phantom{2\;910\;345\;678}+3\times 100\;000$
$\phantom{2\;910\;345\;678}+0\times 1\;000\;000$
$\phantom{2\;910\;345\;678}+1\times 10\;000\;000$
$\phantom{2\;910\;345\;678}+9\times 100\;000\;000$
$\phantom{2\;910\;345\;678}+2\times 1\;000\;000\;000$

Puis j’écris en ligne la décomposition demandée :
$2\;910\;345\;678 = 2\times 1\;000\;000\;000$ + $9\times 100\;000\;000$ + $1\times 10\;000\;000$ + $0\times 1\;000\;000$ + $3\times 100\;000$ + $4\times 10\;000$ + $5\times 1\;000$ + $6\times 100$ + $7\times 10$ + $8\times 1$.

4°) Dans ce nombre, à partir de la gauche, la classe des milliards ne contient qu’un seul chiffre : celui des unités de milliards.

$\quad\bullet$ dans la classe des milliards :
— Il n’y a pas de chiffre des centaines de milliards.
— Il n’y a pas de chiffre des dizaines de milliards.
— $2$ désigne le chiffre des unités de milliards.

$\quad\bullet$ dans la classe des millions :
— Il n’y a pas de chiffre des centaines de millions.
— $1$ désigne le chiffre des dizaines de millions.
— $2$ désigne le chiffre des unités de millions.

$\quad\bullet$ dans la classe des mille :
— $3$ désigne le chiffre des centaines de mille.
— $4$ désigne le chiffre des dizaines de mille.
— $5$ désigne le chiffre des unités de mille.

$\quad\bullet$ dans la classe des unités :
— $6$ désigne le chiffre des centaines.
— $7$ désigne le chiffre des dizaines.
— $8$ désigne le chiffre des unités simples.

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