Décomposition d’un nombre entier en facteurs premiers

Vocabulaire

Définition 1.
Un nombre entier naturel $p$, supérieur ou égal à 2 est dit premier si et seulement si, il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Autrement dit : un nombre entier naturel $p$ est premier lorsqu’il n’admet pas d’autres diviseurs positifs que 1 et lui-même.

Propriété n°1.
Le nombre $1$ n’est pas premier.

La définition ci-dessus exclut le nombre $1$ ; donc $1$ n’est pas un nombre premier car $1$ admet exactement un seul diviseur : $1$ qui n’est autre que lui-même.

Définition 2.
Un nombre entier naturel n, distinct de 1, qui n’est pas premier est dit composé.

Exemples

$2$; $3$; $5$; $7$; $11$ sont des nombres premiers. $6$ est un nombre composé.

Décompose un nombre entier en produit de facteurs premiers

Pour obtenir la décomposition d’un nombre entier $N$ en produit de facteurs premiers, nous avons besoin de la liste des nombres premier donnée par ordre croissant : $$2~;~3~;~5~;~7~;~11~;~13~;~17~;\ldots\text{etc.}$$
La méthode ressemble à un algorithme.

On teste les divisions successives de $N$ puis des quotients successifs de N par chacun des nombre premiers ci-dessus, en répétant le procédé jusqu’à épuisement et on passe au suivant. On s’arrête lorsque le dernier quotient est égal à 1.

Exemple

Exercice résolu n°1.
Déterminer la décomposition d’un nombre entier $180$ en produit de facteurs premiers :

Corrigé.
La liste des nombres premiers : $2~;~3~;~5~;~7~;~11~;~13~;~17~;\ldots\text{etc.}$
$\bullet$ Je teste les divisions successives par $2$.
$180$ est divisible par $2$ et $180\div 2=90$.
$90$ est divisible par $2$ et $90\div 2=45$.
$\quad$ $45$ n’est pas divisible par $2$.
$\bullet$ Je teste les divisions successives par $3$.
$45$ est divisible par $3$ et $45\div 3=15$.
$15$ est divisible par $3$ et $15\div 3=5$.
$\quad$ $5$ n’est pas divisible par $3$.
$\bullet$ Je teste les divisions successives par $5$.
$5$ est divisible par $5$ et $5\div 5=1$.
Conclusion. La liste des facteurs premiers de $180$ est : $2$ répété 2 fois ; $3$ répété 2 fois et $5$ répété 1 fois. Ce qui donne : $$180 = 2\times 2\times 3\times 3\times 5$$
ou encore : $$180 = 2^2\times 3^2\times 5$$

Comme une division, nous pouvons symboliser ce procédé comme suit :
$$\begin{array}{rcl}
\begin{array}{r|l}
N& \text{Diviseurs}\\
\text{Quotients} & \text{successifs}\\
180&2\\ 90&2\\ 45&3\\ 15&3\\ 5&5\\ 1& \\
\end{array}\quad\text{}\quad
\begin{array}{r|l}
\end{array}
\end{array}$$

Liste des diviseurs d’un nombre entier naturel

Soit $a$ un nombre entier naturel non nul et différent de $1$. Alors, on distingue deux cas :

1er cas : $a$ est premiers.

Donc $a$ n’admet que deux diviseurs : 1 et $a$. Et on a : $$\boxed{\;\;a=1\times a\;\;}$$
La liste ${\mathcal L}_a$ des diviseurs de $a$ est donnée par : $$\boxed{\;\;{\mathcal L}_a=\{ 1;a \}\;\;}$$
On note $L_a$ la liste des diviseurs de $a$.

2ème cas : $a$ n’est pas premiers.

Comme $a$ est différent de $0$ et de $1$, $a$ admet d’autres diviseurs que $1$ et $a$.
On teste successivement la division de $a$ par les entiers successifs inférieurs à $a$ : $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ; etc. et on constate qu’à chaque fois qu’on trouve un (petit) diviseur, on obtient par symétrie un autre (grand) diviseur. On continue jusqu’à atteindre un point de bascule ou point d’équilibre. Par exemple :
$$\begin{array}{lcl} 18=1\times 18 &~~\text{ou encore}~~& 18=1\times 18 \\
\phantom{18}=2\times 9 &&\phantom{18}=2\times 9\\
\phantom{18}=3\times 6 && \phantom{18}=3\times 6 \\
\phantom{18}=6\times 3&&\\
\phantom{18}=9\times 2&&\\
\phantom{18}=18\times 1&&\\
\end{array}$$
A partir du point de bascule, on retrouve les mêmes diviseurs dans l’autre sens. Donc, on s’arrête au point de bascule et on a toute la liste. Ainsi :

La liste ${\mathcal L}_{18}$ des diviseurs de $18$ est donnée par : $$\color{brown}{\boxed{\;\;{\mathcal L}_{18}=\{ 1~;~2~;~3~;~6~;~9~;~18 \}\;\;}}$$

$$\boxed{\;\;{\mathcal L}_a=\{ …;… \}\;\;}$$

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