La notion de « nombres entiers premiers entre eux » est très importante en arithmétique parce qu’elle permet de simplifier les fractions et justifier certaines démonstrations en théorie des nombres entiers.

1. Définition et propriétés

Définition 1.
On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux si, et seulement si, leur seul diviseur commun positif est $1$.

Propriété 1.
Deux nombres entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux si, et seulement si, leur plus grand diviseur commun est égal à $1$. On écrit : $$\boxed{~~\text{PGCD}(a;b)=1~~}$$

2. Exercices résolus

Exercice 1.
1°) Dire si les nombres $24$ et $35$ sont premiers entre eux.
2°) Puis simplifier la fraction $\dfrac{24}{35}$.

Corrigé
1°) Pour dire si les nombres $24$ et $35$ sont premiers entre eux, nous allons chercher le PGCD de $24$ et $35$.

On utilise la méthode des listes de diviseurs.
On peut écrire : $$\begin{array}{rclcrcl}
24 &=&1\times 24 &\quad\text{et}\quad & 35 &=&1\times 35\\
&=& 2\times 12 & & &=& 5\times 7\\
&=& 3\times 8 & & & & \\
&=& 4\times 6 & & & & \\
\end{array}$$
On en déduit les listes de diviseurs de $24$ et $35$ sont : $$\begin{array}{l}{\mathcal L}_{24}=\{1;2;3;4;6;8;12;24\}\\ {\mathcal L}_{35}=\{1;5;7;35\}.\end{array}$$
La liste des diviseurs communs de $24$ et $35$ est : $$\boxed{~~{\mathcal L}_{c}=\{1\}~~}$$
Par conséquent, le seul diviseur commun à $24$ et $35$ est $1$.
Conclusion. 24 et 35 sont premiers entre eux.

2°) Simplifier la fraction $\dfrac{24}{35}$.
D’après ce qui précède, $24$ et $35$ sont premiers entre eux, donc leur seul diviseur commun est $1$. Par conséquent, la fraction $\dfrac{24}{35}$ est déjà une fraction simple.
Conclusion. La fraction $\dfrac{24}{35}$ est déjà une fraction irréductible.
CQFD.$\blacktriangle$

Exercice 2.
On considère la fraction $\dfrac{70}{84}$.
1°) Montrer qu’il existe un diviseur commun $d$ à 70 et 84 et deux nombres entiers $a$ et $b$ premiers entre eux tels que $70=d\times a$ et $84=d\times b$.
2°) Simplifier la fraction $\dfrac{70}{84}$.

Corrigé
1°) Nous allons chercher le PGCD de $70$ et $84$.
1ère méthode
On utilise la méthode des soustractions successives (un peu longue dans notre cas).
$84 > 70$. Donc :
$84-70=14$
$70-14=56$
$56-14=42$
$42-14=28$
$28-14=\color{brown}{\boxed{~14~}}$.
$14-14=0$.
Or on sait que, dans la méthode des soustractions successives, le PGCD est égal à la dernière différence non nulle. Par conséquent : $$ \color{brown}{\boxed{~PGCD(70;84)=14~}}$$
$14$ divise $70$, donc il existe un entier $a$ tel que $70=14\times a$. Ici $\boxed{~a=5~}$.
De même, $14$ divise $84$, donc il existe un entier $b$ tel que $84=14\times b$. Ici $\boxed{~b=6~}$.
Or, le seul diviseur commun positif de $5$ et $6$ est $1$. Donc $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

2°) Simplifier la fraction $\dfrac{70}{84}$.
$$\dfrac{70}{84}=\dfrac{14\!\!\!\! {\color{brown}{/}}\times 5}{14\!\!\!\! {\color{brown}{/}}\times 5}={\color{brown}{\boxed{~\dfrac{5}{6}~}}}$$
CQFD.$\blacktriangle$