Un nombre relatif est composé de d’un signe (positif ou négatif) et d’une partie numérique, appelée aussi valeur absolue ou distance à zéro. Pour apprendre à calculer les opérations de multiplication et de division des nombres relatifs, nous avons besoins de ces deux notions. Ces notions sont fondamentales pour bien maîtriser le calcul des quatre opérations sur les nombres relatifs.
1. Produit de deux nombres relatifs :
Définition 1.
Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie les deux valeurs absolues entre elles et on applique la règle des signes suivante :
1°) Si les deux nombres sont de même signe, alors le produit est positif ;
2°) Si les deux nombres sont de signes contraires, alors le produit est négatif.
Exemples :
- $(+3) \times (+5) = +15$
- $(-7) \times (-2) = +14$
- $(-4) \times (+2) = -8$
- $(+6) \times (-3) = -18$.
2. Règles des signes
Propriété n°1.
Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie les deux valeurs absolues entre elles et on applique la règle des signes suivante : $$\begin{array}{|c|} \hline(+)\times(-)=(-)\\ \hline(-)\times(+)=(-)\\ \hline(+)\times(-)=(-)\\ \hline(-)\times(+)=(-)\\ \hline\end{array}$$ En résumé :
$\bullet$ Multiplier 2 nombres de même signe → Produit positif.
$\bullet$ Multiplier 2 nombres de signes contraires → Produit négatif.
2. Multiplication de plusieurs nombres relatifs
Propriété n°2.
Pour multiplier plusieurs nombres relatifs, on multiplie les valeurs absolues entre elles et on applique la règle des signes suivante :
1°) Dans un produit, si le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit est positif.
2°) Dans un produit, si le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif.
Exemples :
- $(+5) \times (+3)\times (+2) =+5\times3\times2=(+30)$. Aucun facteur négatif
- $(+5) \times (-3)\times (+2) = -5\times3\times2=(-30)$. Un seul facteur négatif
- $(-5) \times (-3)\times (+2) = +5\times3\times2=(+30)$. Deux facteurs négatifs
- $(-5) \times (-3)\times (-2) = -5\times3\times2=(-30)$. Trois facteurs négatifs.
Exemples :
Exemple 1 : Calculer : $P_1=(-2) \times (-3) \times (-4)=$ ?
- Il y a 3 facteurs négatifs → impair → Résultat négatif
- Produit des valeurs absolues : $2\times 3 \times 4 = 24$.
- Résultat : $P_1=-24$.
Exemple 2 : Calculer : $P_2=(-1) \times (+5) \times (-2) \times (-3)\times(-5)=$?
- Il y a 4 facteurs négatifs : $(–1; –2; –3;-5)$ → pair → Résultat positif
- Produit des valeurs absolue :$1 \times 5 \times 2 \times 3\times 5 = 150$
- Résultat : $P_2=+150$.
Exemple 3 : Calculer : $P_3=(−1)^{25}=$?
Par définition de $(−1)^{25}$, on a :
$(−1)^{25}=\underbrace{(-1)\times (-1)\cdots \times (-1) }_{25\rm\ facteurs}$
- Il y a 25 facteurs négatifs → impair → Résultat négatif
- Produit des valeurs absolue : $\underbrace{1\times1\times\cdots\times1}_{25\rm\ facteurs}=1$
- Résultat : $P_3=(-1)$.