Multiples et diviseurs d’un nombre entier
1. Multiples et diviseurs
Définitions 1.
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs, $b$ non nul. [On ne peut pas diviser par $0$].
On dit que $b$ divise $a$ et on note $b\mid a$ si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est égal à $0$.
On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$ ou que $a$ est divisible par $b$ ou encore que $a$ est un multiple de $b$.
Si on effectue la division euclidienne de $a$ par $b$, alors il existe deux entiers $q$ (le quotient entier) et $r$ (le reste positif ou nul) tels que $a=b\times q+r$. Donc, [$b$ divise $a$ si, et seulement si, $r=0$].
Propriété 1.
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs.
Alors $b$ divise $a$ si, et seulement si, il existe un entier relatif $q$ tel que : $$a=b\times q$$
Exemples
- $1$ divise tous les nombres entiers. Tous les nombres entiers sont des multiples de $1$.
- Tout nombre relatif non nul $a$, est divisible par $1$ et par lui-même, car $a=a\times1=1\times a$.
- $4$ est un diviseur de $24$, car il existe un entier $q=6$ tel que $24=6×4$.
- Tous les entiers relatifs non nuls sont des diviseurs de $0$.
- $0$ est un multiple de tous les entiers relatifs.
- [Vous remarquerez une petite nuance avec le point précédent.]
- Tous les entiers relatifs sont des divisibles par $1$ et $-1$.
2. Premières propriétés
Propriétés 2.
On a les propriétés suivantes :
($P_1$) : Pour tout entier relatif $a$, non nul : [$a$ divise $a$].
($P_2$) : Pour tous entiers $a$ et $b$, non nuls :
$\qquad$[Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$, alors $a = b$ ou $a = – b$].
Propriétés 3.
($P_3$) : Pour tous entiers $a$ et $b$, non nuls :
$\qquad$[Si $b$ divise $a$, alors $b$ divise tout multiple de $a$].
$\qquad$Autrement dit : [Si $b$ divise $a$, alors pour tout entier relatif $k$ : $b$ divise $ka$].
3. Cas particuliers. Nombres pairs. Nombres impairs
Définitions 2.
On dit qu’un nombre entier est pair si et seulement si, c’est un multiple de $2$. Autrement dit, un entier $n$ est pair si, et seulement si, il est divisible par $2$,c’est-à-dire s’il existe un entier $k$ tel que : $$n=2k$$ Un nombre entier $n$ est impair si et seulement si, $n$ est le successeur d’un nombre pair. Autrement dit, un entier $n$ est impair si, et seulement si, il existe un entier $k$ tel que : $$n=2k+1$$
Propriétés 3. Critères de divisibilité par $2$
Un nombre entier $n$ est pair si, et seulement si, il se termine par $0$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ ou $8$.
Un nombre entier $n$ est impair si, et seulement si, il se termine par $1$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ou $9$.
4. Ensemble des diviseurs d’un entier naturel
Propriété 4.
($P_4$) : Soit $n$ un entier naturel non nul. Alors
1°) Tout diviseur positif $d$ de $n$ est un entier compris entre 1 et $n$.
$$\text{Si $d$ divise $a$, Alors } 1\leqslant d \leqslant a$$ 2°) Tout entier naturel non nul $n$ admet un nombre fini de diviseurs.
Exemple
Exercice résolu n°1.
Déterminer l’ensemble des diviseurs positifs de $36$.
5. Transitivité de la divisibilité
Propriété 5.
($P_5$) : Pour tous entiers relatifs $a$, $b$ et $c$, non nuls, on a :
$\qquad$[Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$, alors $a$ divise $c$].
$\qquad$Autrement dit
($P_{5bis}$)[Si $b$ est un multiple de $a$ et $c$ est un multiple de $b$, alors $c$ est un multiple de $a$].
6. Somme et différence de deux multiples
Propriété n°6 et définition.
($P_6$) : La somme et la différence de deux multiples d’un nombre entier $a$ sont
encore des multiple de $a$.
$\qquad$[Si $b$ et $c$ sont des multiples de $a$, alors $b + c$ et $b – c$ sont aussi des multiples de $a$].
($P_{6bis}$) : Pour tous entiers $a$, $b$ et $c$, non nuls :
$\qquad$[Si $d$ divise $a$ et $d$ divise $b$, alors $d$ divise $a+b$].
$\qquad$[Si $d$ divise $a$ et $d$ divise $b$, alors $d$ divise $a-b$].
7. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Déterminer l’ensemble de tous les diviseurs des nombres suivants : $10$ ; $48$ et $120$
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