Multiples et diviseurs d’un nombre entier

1. Multiples et diviseurs

Définitions 1.
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs, $b$ non nul. [On ne peut pas diviser par $0$].
On dit que $b$ divise $a$ et on note $b\mid a$ si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est égal à $0$.
On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$ ou que $a$ est divisible par $b$ ou encore que $a$ est un multiple de $b$.

Si on effectue la division euclidienne de $a$ par $b$, alors il existe deux entiers $q$ (le quotient entier) et $r$ (le reste positif ou nul) tels que $a=b\times q+r$. Donc, [$b$ divise $a$ si, et seulement si, $r=0$].


Propriété 1.
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs.
Alors $b$ divise $a$ si, et seulement si, il existe un entier relatif $q$ tel que : $$a=b\times q$$

Exemples

  • $1$ divise tous les nombres entiers. Tous les nombres entiers sont des multiples de $1$.
  • Tout nombre relatif non nul $a$, est divisible par $1$ et par lui-même, car $a=a\times1=1\times a$.
  • $4$ est un diviseur de $24$, car il existe un entier $q=6$ tel que $24=6×4$.
  • Tous les entiers relatifs non nuls sont des diviseurs de $0$.
  • $0$ est un multiple de tous les entiers relatifs.
  • [Vous remarquerez une petite nuance avec le point précédent.]
  • Tous les entiers relatifs sont des divisibles par $1$ et $-1$.

2. Premières propriétés

Propriétés 2.
On a les propriétés suivantes :
($P_1$) : Pour tout entier relatif $a$, non nul : [$a$ divise $a$].
($P_2$) : Pour tous entiers $a$ et $b$, non nuls :
$\qquad$[Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$, alors $a = b$ ou $a = – b$].

Propriétés 3.
($P_3$) : Pour tous entiers $a$ et $b$, non nuls :
$\qquad$[Si $b$ divise $a$, alors $b$ divise tout multiple de $a$].
$\qquad$Autrement dit : [Si $b$ divise $a$, alors pour tout entier relatif $k$ : $b$ divise $ka$].


3. Cas particuliers. Nombres pairs. Nombres impairs

Définitions 2.
On dit qu’un nombre entier est pair si et seulement si, c’est un multiple de $2$. Autrement dit, un entier $n$ est pair si, et seulement si, il est divisible par $2$,c’est-à-dire s’il existe un entier $k$ tel que : $$n=2k$$ Un nombre entier $n$ est impair si et seulement si, $n$ est le successeur d’un nombre pair. Autrement dit, un entier $n$ est impair si, et seulement si, il existe un entier $k$ tel que : $$n=2k+1$$

Propriétés 3. Critères de divisibilité par $2$
Un nombre entier $n$ est pair si, et seulement si, il se termine par $0$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ ou $8$.
Un nombre entier $n$ est impair si, et seulement si, il se termine par $1$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ou $9$.


4. Ensemble de diviseurs d’un entier naturel

Propriété 4.
($P_4$) : Soit $n$ un entier naturel non nul. Alors
1°) Tout diviseur positif $d$ de $n$ est un entier compris entre 1 et $n$.
$$\text{Si $d$ divise $a$, Alors } 1\leqslant d \leqslant a$$ 2°) Tout entier naturel non nul $n$ admet un nombre fini de diviseurs.

Exemple

Exercice résolu n°1.
Déterminer l’ensemble des diviseurs positifs de $36$.

Pour déterminer l’ensemble des diviseurs de $36$, on teste la divisibilité de $36$ par
chacun des nombres entiers $d$ compris entre $1$ et $36$ compris. [On pourra s’arrêter plus tôt].
$$\begin{array}{rl}
36 &= 1\times 36\\
&= 2\times 18\\
&= 3\times 12\\
&= 4\times9\\
&= 6\times6\\
\end{array}$$
À chaque ” petit ” diviseur correspond un ” grand ” diviseur.
Le point d’« équilibre » est $6$ qui correspond à $\sqrt{36}$.

Par suite, $36$ admet neuf diviseurs. On voit verticalement les petits diviseurs à gauche, et les grands à droite. La liste des diviseurs positifs de $36$ est donc :
$$L_{36} =\{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}$$
On met des accolades et on sépare les nombres par des points-virgules pour noter un ensemble.


5. Transitivité de la divisibilité

Propriété 5.
($P_5$) : Pour tous entiers relatifs $a$, $b$ et $c$, non nuls, on a :
$\qquad$[Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$, alors $a$ divise $c$].
$\qquad$Autrement dit
($P_{5bis}$)[Si $b$ est un multiple de $a$ et $c$ est un multiple de $b$, alors $c$ est un multiple de $a$].


6. Somme et différence de deux multiples

Propriété n°6 et définition.
($P_6$) : La somme et la différence de deux multiples d’un nombre entier $a$ sont
encore des multiple de $a$.
$\qquad$[Si $b$ et $c$ sont des multiples de $a$, alors $b + c$ et $b – c$ sont aussi des multiples de $a$].
($P_{6bis}$) : Pour tous entiers $a$, $b$ et $c$, non nuls :
$\qquad$[Si $d$ divise $a$ et $d$ divise $b$, alors $d$ divise $a+b$].
$\qquad$[Si $d$ divise $a$ et $d$ divise $b$, alors $d$ divise $a-b$].

7. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Déterminer l’ensemble de tous les diviseurs des nombres suivants : $10$ ; $48$ et $120$

1°) Ensemble des diviseurs de $10$
Pour déterminer l’ensemble des diviseurs de $10$, on teste la divisibilité de $10$ par
chacun des nombres entiers $d$ compris entre $1$ et $\sqrt{10}\simeq 3,16$, donc par $1$ ; $2$ ; $3$.
$$\begin{array}{rl}
10 &= 1\times 10\\
&= 2\times 5\\
\end{array}$$
Par suite, $10$ admet quatre diviseurs. On voit verticalement les petits diviseurs à gauche, et les grands à droite.
La liste des diviseurs positifs de $10$ est donc : $$L_{10} =\{1; 2; 5; 10\}$$

1°) Ensemble des diviseurs de $48$
Pour déterminer l’ensemble des diviseurs de $48$, on teste la divisibilité de $48$ par
chacun des nombres entiers $d$ compris entre $1$ et $\sqrt{10}\simeq 6,93$, donc par $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ et $6$.
$$\begin{array}{rl}
48 &= 1\times 48\\
&= 2\times 24\\
&= 3\times 16\\
&= 4\times 12\\
&= 6\times 8\\
\end{array}$$
Par suite, $48$ admet dix diviseurs. On voit verticalement les petits diviseurs à gauche, et les grands à droite.
La liste des diviseurs positifs de $48$ est donc : $$L_{48} =\{1; 2;3;4; 6;8;12;16;24;48\}$$

1°) Ensemble des diviseurs de $120$
Pour déterminer l’ensemble des diviseurs de $120$, on teste la divisibilité de $120$ par
chacun des nombres entiers $d$ compris entre $1$ et $\sqrt{120}\simeq 10,95$, donc par $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ; $6$ ; $7$ ; $8$ ; $9$ $10$.
$$\begin{array}{rl}
120 &= 1\times 120\\
&= 2\times 60\\
&= 3\times 40\\
&= 4\times 30\\
&= 5\times 24\\
&= 6\times 20\\
&= 8\times 15\\
&= 10\times 12\\
\end{array}$$
Par suite, $120$ admet seize diviseurs. On voit verticalement les petits diviseurs à gauche, et les grands à droite.
La liste des diviseurs positifs de $120$ est donc : $$L_{120} =\{1; 2;3;4; 5;6;8;12;15;20;24;30;40;60; 120\}$$