Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$.
Dans le plan complexe, nous utiliserons le repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$ et non pas $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ pour éviter les confusions possibles entre le vecteur $\vec{\imath}$ et le nombre complexe $i$, $i^2=-1$.

1. Module d’un nombre complexe

Définition 1.
Soit $M$ un point du plan complexe d’affixe $z$. On appelle module du nombre complexe $z$ et on note $\abs{z}$, le nombre réel positif ou nul défini par : $\abs{z}=||\overrightarrow{OM}||\in\R^{+}$ (norme du vecteur $\overrightarrow{OM}$). Si $M$ a pour coordonnées $(a;b)$ alors $z=a+\i b$ et on a : $$\boxed{\abs{z}=\sqrt{a^2+b^2}}$$

Exemples

  1. Si $z_1=2+3\i$, alors $\abs{z_1}=\sqrt{2^2+3^2}$, donc $\abs{z_1}=\sqrt{13}$
  2. Si $z_2=-5$, alors $\abs{z_2}=\sqrt{(-5)^2+0^2}=\sqrt{25}=5=\abs{5}$, la valeur absolue de $(-5)$.
  3. Si $z_3=-3\i=0-3\i$, alors $\abs{z_3}=\sqrt{0^2+(-3)^2}=\sqrt{9}=3=\abs{-3}$.

2. Propriétés du module d’un nombre complexe

2. a) Premières propriétés

Propriété fondamentale n°1.
Pour tout nombre complexe $z$, on note $\overline{z}$ son complexe conjugué. Alors : $$\begin{array}{llr}(P_1) &\boxed{~~z\overline{z}=\overline{z}z=\abs{z}^2=\abs{\overline{z}}^2~~} &\quad(1)\\ \end{array}$$

En effet : Si $z=a+\i b$, alors $\overline{z}=a-\i b$. Donc : $z\overline{z}=(a+\i b)(a-\i b)$. On reconnaît une identité remarquable IRn°3. Donc :
$z\overline{z}=a^2-(\i b)^2=a^2-\i^2b^2=a^2+b^2$ $=(\sqrt{a^2+b^2})^2=\abs{z}^2$. CQFD.$\blacktriangle$

Propriétés n°2.
Soit $z$ un nombre complexe. On pose $z=a+\i b$. Alors :
$\begin{array}{lll}
(P_2) &\abs{z}=0 \Leftrightarrow z=0 & \quad(2)\\
(P_3) &\abs{-z}=\abs{z} & \quad(3)\\
(P_4) &\abs{\overline{z}}=\abs{z} & \quad(4)\\
(P_5) &\text{Si}~z\in\R,~\text{alors}~\abs{z}=\sqrt{a^2}=\abs{a},~\text{valeur absolue de }a & \quad(5)\\
(P_6) &\text{Si}~z\in\i\R,~\text{alors}~\abs{z}=\sqrt{b^2}=\abs{b},~\text{valeur absolue de }b &\quad(6)\\
\end{array}$

2. b) Module d’un produit, de l’inverse et de quotient de nombres complexes

Propriétés n°3. (Modules et opérations).
Soit $z$ et $z_1$, $z_2$ trois nombres complexes quelconques. Alors :
$\begin{array}{lll}
(P_7) &\abs{z_1z_2}=\abs{z_1}\times \abs{z_2} & (7)\\
(P_8) &\text{Si}~z\not=0,~\text{alors}~:~\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{\abs{z}} & (8)\\
(P_9) &\text{Si}~z_2\not=0,~\text{alors}~:~\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{\abs{z_1}}{\abs{z_2}} & (9)\\
(P_{10}) & \text{Pour tout }n\in\N^{*} : \abs{z^n}=\abs{z}^n & (10)\\
\end{array}$

3. Module et distance entre deux points, norme d’un vecteur

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$.

Propriété n°3.
Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$ et $\overrightarrow{V}$ un vecteur d’affixe $z_{\overrightarrow{V}}$. Alors :
1°) La distance entre les points $A$ et $B$ est donnée par : $$AB=\abs{z_B-z_A}=\abs{z_A-z_B}$$ 2°) La norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est donnée par : $$||\overrightarrow{AB}||=\abs{z_B-z_A}=\abs{z_A-z_B}$$ 3°) La norme du vecteur $\overrightarrow{V}$ est donnée par : $$||\overrightarrow{V}||=\abs{~z_{\overrightarrow{V}}~}$$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Démontrer que pour tous $z_1, z_2\in\C$ : $$\abs{z_1z_2}=\abs{z_1}\abs{z_2}$$

1°) Soient $z_1$, $z_2\in\C$.
$\begin{array}{rl}
\abs{z_1z_2} &=z_1z_2\times \overline{z_1z_2}\\
&=z_1z_2\times \overline{z_1}\overline{z_2}\\
&=z_1\overline{z_1}\times z_2\overline{z_2}\\
&=(z_1\overline{z_1})\times (z_2\overline{z_2})\\
\abs{z_1z_2} &=\abs{z_1} \abs{z_2} \\ \end{array}$
CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°2.
Démontrer que pour tous $z\in\C$ et tout entier $n\in\N^{*}$ : $\abs{z^n}=\abs{z}^n$

On fait une démonstration par récurrence.
Pour tout entier $n\in\N^{*}$, on appelle $P_n$ la proposition logique :
$$P_n~:~{\large[}\abs{z^n}=\abs{z}^n{\large]}$$
Montrons par récurrence que pour tout entier $n\in\N^{*}$ : [$P_n$ est vraie].

a) Initialisation.
Pour $n=1$, on a : $\abs{z^1}=\abs{z}=\abs{z}^1$.
Donc, $P_1$ est vraie.

b) Hérédité.
Soit $n\in\N^{*}$. Supposons que $P_n$ est vraie. Donc : $${\large[}\abs{z^n}=\abs{z}^n{\large]}~~\text{(HR)}$$
Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$
Or, on sait que $\abs{z_1z_2}=\abs{z_1}\abs{z_2}$.
Donc, d’après l’hypothèse de récurrence (HR), on obtient $$\begin{array}{rl}\abs{z^{n+1}}
&=\abs{z^n\times z} \\
&=\abs{z^n}\times\abs{z} \\
&= \abs{z}^n\times\abs{z} \\
\abs{z^{n+1}}&=\abs{z}^{n+1} \\ \end{array}$$ Ce qui montre que $P_{n+1}$ est vraie. Et par suite la propriété $P_n$ est héréditaire.

c) Conclusion.
Nous avons démontré que $P_n$ est vraie au rang $n=1$ et qu’elle est héréditaire.
Donc, d’après le principe de récurrence, la proposition logique est vraie pour tout entier non nul $n$.
CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°3.
1°) Démontrer que pour tous $z\in\C$, $z\not=0$ : $$\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{\abs{z}}$$ 2°) En déduire que pour tous $z_1$, $z_2\in\C$, $z_2\not=0$ : $$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{\abs{z_1}}{\abs{z_2}}$$

Soit $z\in\C$, $z\not=0$.
1ère méthode : (directe)
$z\not=0$, donc : $z\times\dfrac{1}{z}=1$. Donc : $\left|z\times\dfrac{1}{z}\right|=1$. Et par suite : $\abs{z}\times\left|\dfrac{1}{z}\right|=1$.
Maintenat, en divisant les deux côtés par $\abs{z}\not=0$, on obtient : $$\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{\abs{z}}$$ CQFD.$\blacktriangle$

2°) Soient $z_1$, $z_2\in\C$, $z_2\not=0$.
On sait que : $$\dfrac{z_1}{z_2}= z_1\times\dfrac{1}{z_2}$$ On utilise les propriétés précédentes. Donc : $$\begin{array}{rl}
\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|&=\abs{z_1}\times\left|\dfrac{1}{z_2}\right|\\
&=\abs{z_1}\times\dfrac{1}{\abs{z_2}}\\
\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|&=\dfrac{\abs{z_1}}{\abs{z_2}}\\ \end{array}$$
Par conséquent. $$\boxed{~~\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\arg(z_1)-\arg(z_2)~[2\pi]~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

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