1. L’implication logique

Nous avons déjà abordé « L’implication logique » définition et exemples pris au Collège et au Lycée. Nous abordons ici la méthode de raisonnement par implications logiques successives.

Définition 1.
Soient $P$ et $Q$ deux propositions logiques. On peut construire une nouvelle proposition logique notée « $P\Rightarrow Q$ », se lit « P implique Q » et s’appelle l’implication logique.
« $P\Rightarrow Q$ » signifie que : « Si P est vraie, Alors Q est vraie » ou encore « P entraîne Q ». On démontre que « $P$ implique $Q$ » est équivalente à « (non $P$) ou $Q$ »
C’est le « Si…, Alors… » vu dans les démonstrations au collège.
$P$ joue le rôle de l’hypothèse et $Q$ le rôle d’une conclusion.
On dit que $Q$ est une conséquence logique de la proposition $P$, ou encore que la proposition $Q$ se déduit de la proposition $P$.

Propriété 1.
$\bullet~$ la négation de « $P$ implique $Q$ » est donc « $P$ et (non $Q$) ».
$\bullet~$ « $P$ implique $Q$ » est fausse si, et seulement si, P est vraie et Q est fausse. « $P$ implique $Q$ » est vraie sinon.

On peut construire le tableau de vérité de cette proposition logique et sa négation comme suit : $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline P& Q& P\Rightarrow Q& \text{non}(P\Rightarrow Q)\\ \hline
V&V&V&F \\ \hline \color{brown}{\textbf{V}} & \color{brown}{\textbf{F}}& \color{brown}{\textbf{F}} &\color{brown}{\textbf{V}} \\ \hline F&V&V&F\\ \hline F&F&V&F\\ \hline \end{array}$$
Autrement dit : la négation « non (P $\Rightarrow$ Q) » est équivalente à « $P$ et (non $Q$) ». $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline P&(\text{non}~Q)& P~\text{et (non }Q)\\
\hline V&V&V \\ \hline \color{brown}{\textbf{V}} & \color{brown}{\textbf{F}}& \color{brown}{\textbf{F}} \\ \hline F&V&V\\ \hline F&F&V\\ \hline \end{array}$$

Propriété 1.
Pour démontrer que l’implication $[P\Rightarrow Q]$ est vraie, on suppose que $P$ est vraie [hypothèse] et on démontre que $Q$ est vraie [Conclusion].

Notations et vocabulaire

Lorsque $P\Rightarrow Q$ est vraie, on dit que « $P$ est une condition suffisante (CS) pour (la réalisation de) $Q$ » ; ou encore que « $Q$ est une condition suffisante (CN) pour (la réalisation de) $P$ ».

Propriété 2. Transitivité de l’implication logique
Soient $P$, $Q$ et $R$ trois propositions alors :
Si « $P\Rightarrow Q$ » et « $Q\Rightarrow R$ », Alors « $P\Rightarrow R$ ».

2. Raisonnement par implications logiques successives

On peut donc généraliser la propriété n°2 à une suite de plusieurs propositions logiques, créant un enchaînement de propositions logiques qui aboutissent à la conclusion.
On décompose alors le passage de $P$ à $Q$ en plusieurs propriétés élémentaires, de telles manières à relier $P$ et $Q$ par une chaîne d’implications.

Propriété 3.
Pour démontrer l’implication logique $P\Rightarrow Q$, il faut et il suffit de trouver une chaîne finie et ordonnée de propositions logiques équivalentes $P_1$, $P_2,\ldots$, $P_n$, telles que : $$P\Rightarrow P_1\Rightarrow P_2\Rightarrow \cdots\Rightarrow P_n\Rightarrow Q$$

Rédaction de la démonstration

  • 1ère étape :
    Supposons que $P_1$ est vraie.
  • 2ème étape :
    Nous avons les implications (successives) suivantes : $$\begin{array}{rcl}
    P_1\text{ est vraie} &\Rightarrow & P_2\text{ est vraie ; (immédiat)}\\
    &\Rightarrow & P_3\text{ est vraie ; car+justification}\\ &\Rightarrow & P_4\text{ est vraie ; d’après tel théorème.}\\ &\Rightarrow & \ldots\\
    &\Rightarrow & Q\\ \end{array}$$
  • 3ème étape :
    Conclusion. La propriété $Q$ est vraie.

Les mots de liaison

En général, dans une suite de propositions logiques, nous utilisons des « mots de liaison ». Le mot « implique » (ou le symbole $\Rightarrow$) est remplacé par un « Donc », un « Alors » ou un « Par suite », ou encore en dernier, par un « D’où » ou un « Par conséquent ». Ces mots de liaison désignent des implications logiques élémentaires (évidentes) ou qui se déduisent de propriétés ou théorèmes déjà connus.
Cet enchaînement d’implications logiques s’appelle un « raisonnement par implications successives ».

Nous devons suivre cette même construction dans nos raisonnements utilisant les propriétés et théorèmes connus : Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires, Théorème de Thalès, Théorème de Pythagore, Théorème de la droite des milieux,… etc.

3. Autres techniques

Pour démontrer une implication logique, on peut commencer, à partir des hypothèses, par démontrer un « petit résultat utile », un résultat intermédiaire (nous l’appellerons plus tard un « lemme ») qui nous aide à démontrer que notre conclusion est vraie.

Nous pouvons également, commencer par transformer et remplacer la proposition $P$ (l’hypothèse) par une proposition équivalente $P’$ plus utile à la démonstration ; ou la conclusion $Q$ par une proposition équivalente. $Q’$ plus simple.

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
Démontrer que $$(y+x^2y=3) \Rightarrow \left(y=\dfrac{3}{1+x^2}\right)$$

Modèle de rédaction
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
Supposons que $y+x^2y=3$ (*)
Il est clair que pour isoler $y$, il nous faut diviser par $1+x^2$.
Or, il est interdit de diviser par $0$.
Donc il faut nous assurer que $1+x^2\not=0$.

« Petit résultat utile ».
On sait que pour tout nombre réel $x$ : $x^2$ est un nombre positif.
Donc : $x^2\geqslant 0$.
Donc : $1+x^2\geqslant 1+0$.
Donc : $1+x^2>0$, car $1>0$.
Par suite, pour tout nombre réel $x$ : $$1+x^2\not=0\quad(1)$$
Nous avons donc notre « petit résultat utile ».

Or par hypothèse (*), on sait que : $$y+x^2y=3\quad\text{équivaut à}\quad y(1+x^2)=3\quad(2)$$
Pour isoler $y$, il nous faut diviser par $1+x^2$.
Or, d’après $(1)$, on sait que : $1+x^2\not=0$.
Par conséquent, d’après $(2)$, on peut diviser et écrire :
$$y=\dfrac{3}{1+x^2}\quad(3)$$
Conclusion. On a bien : $$y=\dfrac{3}{1+x^2}$$

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Exercice résolu n°2. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
L’implication : $$(y+xy=7) \Rightarrow \left(y=\dfrac{7}{1+x}\right)$$ est-elle vraie ?
Justifier votre réponse.

Modèle de rédaction
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
Supposons que $y+xy=7$ (*)
Il est clair que pour isoler $y$, il nous faut factoriser puis diviser par $1+x$.
Or, il est interdit de diviser par $0$.
Donc il faut nous assurer que $1+x\not=0$.

« Petit résultat utile ».
On sait que : $$1+x=0\text{ équivaut à }x=-1\quad(1)$$
Notre dénominateur risque de s’annuler si on prend $x=-1$.
Nous devons alors distinguer deux cas : $x=-1$ et $x\not=-1$ et étudier si notre conclusion est vraie « dans tous les cas ». Sinon, la conclusion ne serait pas vraie « pour tout réel $x$ ».
Nous avons donc notre « petit résultat utile ».

Or par hypothèse (*), on sait que : $$y+xy=7$$
Donc $$y(1+x)=7\quad(2)$$
Pour isoler $y$, il nous faut diviser par $1+x$.
Or, d’après $(1)$, on sait que : $1+x=0\text{ équivaut à }x=-1$.

1er cas : $x=-1$.
Or par hypothèse (*), on sait que : $$y+xy=7$$
En remplaçant $x$ par $-1$, on obtient : $$y+(-1)y=7$$
Donc : $$y-y=7$$
D’où : $$0=7.$$
Ce qui est impossible.
Donc, notre conclusion est fausse pour $x=-1$.

2ème cas : $x\not=-1$. Donc : $1+x\not=0\quad(2)$.
Or par hypothèse (*), on sait que : $$y+xy=7\quad\text{équivaut à}\quad y(1+x)=7$$
Par conséquent, d’après $(2)$, on peut diviser par $(1+x)$ et écrire :
$$y=\dfrac{7}{1+x}\quad(3)$$

Conclusion. L’implication est fausse, car il existe au moins un nombre réel $x$ pour lequel cette égalité $y=\dfrac{7}{1+x}$ est impossible. Il suffit de prendre $x=-1$.

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Exercice résolu n°3.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$.
Démontrer que : Si la droite $\Delta$ est la médiatrice du côté $[AC]$, alors $\Delta$ est parallèle à $(AB)$.

Modèle de rédaction :
Faire une figure à titre indicatif pour visualiser les données.

Supposons que : $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et la droite $\Delta$ est la médiatrice du côté $[AC]$.

Ici la prémisse est composée de deux données. Nous allons toutes les énumérer et les traduire avec des symboles.

$\bullet~(H_1)$ $ABC$ un triangle rectangle en $A$. Donc :
$$(AB)\bot(AC)\quad(H_1)$$
$\bullet$ La droite $\Delta$ est la médiatrice du côté $[AC]$. Donc, $\Delta$ est perpendiculaire au segment $[AC]$ et passe par son milieu. Donc, en particulier :
$$\Delta\bot(AC)\quad(H_2)\$$

Donc par hypothèses $(H_1)$ et $(H_2)$, on a : $$\begin{array}{c}(AB)\bot(AC)\\ \Delta\bot(AC) \\ \end{array}$$
Or, on sait que [je (ré)cite la propriété] : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. »
Donc : $$\Delta\bot(AB)$$
Conclusion. La droite $\Delta$ est parallèle à $(AB)$.

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