1. Propositions équivalentes
Définition 1.
Soient $P$ et $Q$ deux propositions logiques. On dit que $P$ et $Q$ sont équivalentes et on note « $P\Leftrightarrow Q$ » ou « $Q\Leftrightarrow P$ » si, et seulement si, elles sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses simultanément.
Autrement dit : Si l’une est vraie, alors l’autre est vraie ; et si l’une est fausse, alors l’autre est fausse.
Notations et vocabulaire
Si deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes, on note « $P\Leftrightarrow Q$ » et on écrit : « P équivaut à Q » ou « P est équivalente à Q » ou encore « P si, et seulement si, Q ».
Propriété 1.
Pour démontrer que deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes, il faut et il suffit de démontrer que $$[P\Rightarrow Q]~\text{et}~[Q\Rightarrow P]$$
Autrement dit : Pour démontrer une équivalence, il suffit de démontrer les deux implications, dans un sens et dans l’autre.
Notations et vocabulaire
Lorsque $P\Rightarrow Q$, on dit que « $P$ est une condition suffisante (CS) pour (la réalisation de) $Q$ » ; ou encore que « $Q$ est une condition suffisante (CN) pour (la réalisation de) $P$ ».
Ainsi, si deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes, on note « $P\Leftrightarrow Q$ » , alors « Pour que $P$ soit vraie, il faut et il suffit que $Q$ soit vraie » . On dit alors que $P$ est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour (la réalisation de) $Q$ et réciproquement.
Propriété 2. L’équivalence est commutative et transitive.
Soient $P$, $Q$ et $R$ trois propositions alors : $$[P\Leftrightarrow Q]~\text{équivaut à}~[Q\Leftrightarrow P]$$ et $$\text{Si}~[P\Leftrightarrow Q~\text{et}~Q\Leftrightarrow R]~;~\text{alors}~ [P\Leftrightarrow R]$$
2. Raisonnement par équivalences
En utilisant le propriété n°2, on peut décomposer le passage de $P$ à $Q$ en plusieurs propriétés élémentaires équivalentes, de telles manières à relier $P$ et $Q$ par une chaîne d’équivalences.
Propriété 3.
Pour démontrer que deux propositions logiques $P$ et $Q$ sont équivalentes, il faut et il suffit de trouver une chaîne finie et ordonnée de propositions logiques équivalentes $P_1$, $P_2,\ldots$, $P_n$, telles que : $$P\Leftrightarrow P_1\Leftrightarrow P_2\Leftrightarrow \cdots\Leftrightarrow P_n\Leftrightarrow Q$$
Remarque
Pour démontrer que deux propositions logiques $P$ et $Q$ sont équivalentes, parfois il est plus commode, voire facile de démontrer les contraposées
Propriété 4.
Soient $P$ et $Q$ deux propositions logiques. Alors : $$[P\Leftrightarrow Q]~\text{équivaut à}~[\textbf{non}~P\Leftrightarrow~\textbf{non}~Q]$$
3. Exercices résolus
Toutes les résolutions d’équations dans $\R$ utilisent en réalité un raisonnement par équivalence.
Au collège, dans un premier temps, on résolvait notre équation par les méthodes algébriques en passant par plusieurs étapes « équivalentes », puis on faisait une « Vérification ». Ce qui signifiait qu’il fallait justifier que la valeur trouvée à la dernière étape est bien une solution de l’équation.
Un raisonnement par équivalence permet de dire directement que « Cette équation admet une seule solution $x_0=\ldots$ » ou « Cette équation admet exactement deux solutions $x_1=\ldots$ et $x_2=\ldots$ ».
Exercice résolu n°1.
Résoudre l’équation suivantes $(E)$ : $5(x-1)+2x=4x+7$.
Exercice résolu n°2.
Résoudre dans $\R$ l’équation suivantes $(E)$ : $(x-2)^2-4(x+3)+5=0$