1. Propositions équivalentes

Définition 1.
Soient $P$ et $Q$ deux propositions logiques. On dit que $P$ et $Q$ sont équivalentes et on note « $P\Leftrightarrow Q$ » ou « $Q\Leftrightarrow P$ » si, et seulement si, elles sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses simultanément.
Autrement dit : Si l’une est vraie, alors l’autre est vraie ; et si l’une est fausse, alors l’autre est fausse.

Nous avons déjà abordé la méthode de raisonnement par équivalences. Nous donnons ici un outil très important pour démontrer une équivalence, la méthode de raisonnement par double implication.

2. Méthode de raisonnement par double implication

Propriété 1.
Pour démontrer que deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes, il faut et il suffit de démontrer les deux implications $(P\Rightarrow Q)$ et $(Q\Rightarrow P)$. $$ [P\Leftrightarrow Q]\Longleftrightarrow \left[(P\Rightarrow Q)~\text{et}~(Q\Rightarrow P)\right]$$ Autrement dit : Pour démontrer une équivalence, il suffit de démontrer les deux implications, dans un sens, puis dans l’autre.

Ainsi, si deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes, alors « Pour que $P$ soit vraie, il faut et il suffit que $Q$ soit vraie » et réciproquement. On dit alors que $P$ est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour (la réalisation de) $Q$ et réciproquement.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Résoudre l’équation suivantes $(E)$ : $5(x-1)+2x=4x+7$.

Corrigé.
On utilise un raisonnement par équivalences.
Pour tout $x\in\R$, on a les équivalences suivantes :
$$\begin{array}{rrl}(E) \Leftrightarrow& 5(x-1)+2x=&4x+7\\
\Leftrightarrow& 5x-5+2x=&4x+7\\ \Leftrightarrow& 5x+2x-4x=&7+5\\ \Leftrightarrow& 3x=&12\\ \Leftrightarrow& x=&\dfrac{12}{3}\\ \Leftrightarrow& x=&4\\ \end{array}$$ Ce qu’on peut résumer en écrivant que $(E)\Leftrightarrow x=4$.

Conclusion. L’équation $(E)$ admet une seule solution $x_0=4$. Donc l’ensemble des solutions est : $$\boxed{~{\mathcal S}=\{4\}~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°2.
Résoudre dans $\R$ l’équation suivantes $(E)$ : $(x-2)^2-4(x+3)+5=0$

Corrigé.
On utilise un raisonnement par équivalences.
Pour tout $x\in\R$, on a les équivalences suivantes :
$$\begin{array}{rr}(E) \Leftrightarrow& (x+2)^2-4(x+3)+5=0 &\\
\Leftrightarrow& x^2+4x+4-4x-12+5=0&\\
\Leftrightarrow& x^2+4\not x-4\not x+4-12+5=0&\\
\Leftrightarrow& x^2-3=0& \\
\Leftrightarrow& x^2-(\sqrt{3})^2=0& \text{(1)}\\
\Leftrightarrow& (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=0 & \\
\Leftrightarrow& x+\sqrt{3}=0~~\text{ou}~~x-\sqrt{3}=0 &\text{(2)}\\ \Leftrightarrow& x=-\sqrt{3}~~\text{ou}~~x=\sqrt{3}& \\ \end{array}$$
(1) I.R. n°3 identité remarquable n°3.
(2) T.P.N. = Théorème du produit nul.
Ce qu’on peut résumer en écrivant que $(E)\Leftrightarrow x=-\sqrt{3}$ ou $x=\sqrt{3}$.

Conclusion. L’équation $(E)$ admet deux solutions $x_1=-\sqrt{3}$ et $x_2=\sqrt{3}$. Donc l’ensemble des solutions est : $$\boxed{~{\mathcal S}=\{-\sqrt{3}~;~\sqrt{3}\}~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

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