Nous avons vus ce qu’est une conjonction et une disjonction logiques et leurs négations. Nous voyons ici la méthode de raisonnement par disjonction des cas, qui est très souvent utilisée dans les démonstrations en mathématiques et en logique.

1. Principe du raisonnement par disjonction des cas

Le raisonnement par disjonction des cas consiste à découper un problème en plusieurs cas possibles, exclusifs pour ne pas se chevaucher et exhaustifs pour recouvrir tous les cas possibles. La méthode consiste à démontrer que « Si la conclusion recherchée est vraie dans tous les cas, donc elle est vraie en général.
Cette méthode de raisonnement est souvent utilisée avec des propriétés de : parité, valeurs absolues, signes, inégalités, quotient, racine carrée, etc. Très souvent, on utilise un raisonnement par disjonction des cas pour éviter de diviser par $0$.

On donne ici une version de cette méthode, avec deux cas possibles $P$ et $Q$.

Théorème 1.
Soient $P$, $Q$ et $R$ trois propositions logiques. ALors :
$$\text{Si}~(P~\textbf{ou}~Q)~\text{et}~(P\Rightarrow R)~\text{et}~ (Q\Rightarrow R)~\text{Alors}~R~\text{est vraie}$$

Démonstration. Voir Roger Godement, « COURS D’ALGÈBRE », Éd. Hermann, Paris 1980, page 31.

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, le nombre $N=n^2+n$ est est un nombre pair.

Corrigé.
1ère méthode rapide
Pour tout entier naturel $n$, le nombre $N=n^2+n$ s’écrit : $$N=n(n+1)$$
$N$ est le produit de deux entiers consécutifs. Donc, $N$ est un nombre pair.

2ème méthode
On fait un raisonnement par disjonction des cas.
Soit $n$ un entier naturel $n$, montrons que le nombre $N=n^2+n$ est un nombre pair. On distingue deux cas possibles :

1ère cas : $n$ est pair
Donc, il existe un entier $k$ tel que $n=2k$.
Mais alors, $N=(2k)\times(2k+1)=2\times k(2k+1)$.
On pose $k^{\prime}=k(2k+1)$. On a alors : $N=2k^{\prime}$.
Par conséquent $N$ est pair.

2ème cas : $n$ est impair
Donc, il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$.
Mais alors, $N=(2k+1)(2k+1+1)=(2k+1)(2k+2)$ $=(2k+1)\times 2(k+1)=2\times (2k+1)(k+1)$.
On pose $k^{\prime\prime}=(2k+1)(k+1)$. On a alors : $N=2k^{\prime\prime}$.
Par conséquent $N$ est pair.

Conclusion.
Pour tout entier $n$, pair ou impair, nous avons démontré que $N$ est un nombre pair.
CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°2. (Niveau 1ère)
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=x\abs{x}$.
Démontrer que la fonction $f$ est dérivable sur $R$ et de dérivée $f’$ définie par : $f'(x)=2\abs{x}$.

Corrigé.
Soit $x\in\R$.
On fait un raisonnement par disjonction des cas.
On distingue trois cas possibles : $x>0$ ou $x<0$ ou $x=0$.
Nous allons étudier la dérivabilité de $f$ dans chacun de ces cas.

1ère cas : $x\in]0;+\infty[$.
Pour tout $x\in ]0,+\infty[$, $\abs{x}=x$. Donc : $f(x)=x\abs{x}=x\times x = x^2$.
Or, on sait que la fonction carrée est définie et dérivable sur $\R$, donc sur $]0,+\infty[$, et sa dérivée est définie par $(x^2)’=2x$. Par conséquent, $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et sa dérivée est définie par : $f'(x)=2x=2\abs{x}$.

2ème cas : $x\in]-\infty;0[$.
Pour tout $x\in]-\infty;0[$, $\abs{x}=-x$. Donc : $f(x)=x\abs{x}=x\times(-x) = -x^2$.
Or, on sait que la fonction carrée est définie et dérivable sur $\R$, donc sur $]-\infty;0[$, et sa dérivée est définie par $(x^2)’=2x$. Par conséquent, $f$ est dérivable sur $]-\infty;0[$ et sa dérivée est définie par : $f'(x)=-2x=2\times (-x)=2\abs{x}$.

3ème cas : $x=0$.
Nous allons utiliser le taux d’accroissement.
Tout d’abord, calculons $f(0)=0\abs{0}=0$.
Soit $h\in\R$, $h\not=0$. Le taux d’accroissement de la fonction $f$ en $0$ s’écrit : $$\dfrac{f(0+h)−f(0)}{h}= \dfrac{h|h|−0}{h}=|h|$$
Or, on sait que $\dlim_{h\to0}|h|=0$.
Par conséquent, le taux d’accroissement de $f$ en $0$ possède une limite finie quand $h\to0$, donc $f$ est dérivable en $0$, et sa dérivée vaut $f'(0) =0$. Or, $f'(0)=0=2\times\abs{0}$.

Conclusion.
Pour tout entier $x\in\R$, positif ou négatif ou nul, nous avons démontré que $f$ est dérivable en $x$ et sa dérivée est définie par : $f'(x)=2\abs{x}$.
CQFD.$\blacktriangle$

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