1. Affirmation universelle et conjecture

Définition 1.
Soit $P$ une proposition dépendant d’une variable $x$ parcourant un ensemble $E$.
Une affirmation universelle s’écrit sous la forme suivante : « Pour tout $x\in E$ : $P(x)$ » (sous entendu « $P(x)$ est vraie »). Nous avons deux possibilités :
1°) Démontrer que pour tout $x\in E$, $P(x)$ est vraie ; L’affirmation est vraie.
2°) Sinon, démontrer qu’il existe au moins un $x\in E$, pour lequel $P(x)$ est fausse. Auquel cas, il faut donner la valeur $x_0$ de $x$ pour laquelle $P(x)$ est fausse.
Le $x_0$ fournit un contre-exemple pour la vérité de $P(x)$. On dit qu’on a réfuté l’affirmation. Dans ce cas l’affirmation est fausse.

Définition 2.
En mathématiques, une conjecture est une proposition ou une affirmation qui semble vraie sur la base d’observations, d’expériences, de calculs pour quelques valeurs ou de raisonnements intuitifs, mais qui n’a pas encore été rigoureusement démontrée ou réfutée par un contre-exemple.

Étude d’un exemple n°1.

Exemple célèbre :

Les nombres de Fermat sont définis par la formule $F_n =\large 2^{2^ⁿ}+1$, où $n$ est un entier naturel. En 1640, le mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665) a formulé la conjecture que « pour tout entier $n$ : [ $F_n$ est un nombre premier ] ».
A l’aide d’une calculatrice ou d’un algorithme,
1°) Calculer $F_0$, $F_1$, $F_2$ $F_3$, $F_4$ et $F_5$.
1°) Vérifiez si ces nombres sont premiers ou non.
3°) Conclure.

Corrigé.
1°) Les cinq premiers nombres de Fermat :
$F_{0}=2^{1}+1=3$ ;
$F_{1}=2^{2}+1=5$ ;
$F_{2}=2^{4}+1=17$ ;
$F_{3}=2^{8}+1=257$ ;
$F_{4}=2^{16}+1=65\,537$ ;
Le sixième nombre de Fermat est :
$F_5= 2^{2^5}+1 =2^32+1=4294967297$.

2°) A l’aide d’une calculatrice ou d’un algorithme, on démontre que les cinq premiers nombres de Fermat sont tous premiers.
Presque un siècle plus tard en 1732, le premier à lui porter la contradiction, est le mathématicien suisse Leonhard Euler en présentant un diviseur (donc deux diviseurs au moins) de $F_5$ prouvant qu’« il existe au moins un nombre de Fermat qui n’est pas premier ». Il affirme que $F_5$ est divisible par $641$. En effet $$\boxed{~F_5= 4294967297 = 641\times 6700417~}$$

3°) Conclusion. Il existe un nombre de Fermat qui n’est pas premier. En l’occurence $F_5$.
Par conséquent, cette conjecture de Fermat est fausse.

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2. Le raisonnement par contre-exemple

Définition 2.
Le raisonnement par contre-exemple permet de réfuter une affirmation universelle du type « pour tout $x\in E$ : [$P(x)$] », en trouvant au moins un élément $x\in E$ qui ne vérifie pas cette affirmation. Il suffit de trouver un unique exemple qui contredit l’énoncé, appelé contre-exemple, pour prouver que l’affirmation est fausse. 
Ce type de raisonnement est utilisé spécifiquement pour démontrer qu’une proposition est fausse.

Comment l’utiliser ?

  1. Identifier l’affirmation universelle : Cherchez une proposition commençant par « Pour tout $x$… » ou « Quel que soit $x$… »
  2. Écrire la négation de l’affirmation : La négation d’une proposition « Pour tout $x\in E$, $P(x)$ est vraie » est « Il existe au moins un $x\in E$ tel que $P(x)$ est fausse ».
  3. Déterminer la valeur de l’élément $x_0$ : Cherchez un élément spécifique $x_0$ qui vérifie la négation, c’est-à-dire qui ne satisfait pas la proposition initiale.
  4. Conclure : Cet élément $x_0$ est le contre-exemple cherché. Il prouve que l’affirmation originale est fausse. 

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°2. Somme de carrés
On sait que $3^2+4^2=5^2$ ; $5^2+12^2=13^2$.
Affirmation 2. « La somme de deux nombres carrés quelconques est toujours un nombre carré ».
Cette affirmation est vraie ou fausse ? Justifier.

Corrigé.
On peut traduire l’affirmation 2 sous la forme d’une affirmation universelle comme suit :
Pour tout couple de nombres entiers $(a;b)$, il existe un nombre entier $c$ tel que : $a^2+b^2=c^2$. Avec les quantificateurs : $$(\forall(a;b)\in\N^2)(\exists c\in\N) ~:~\boxed{~a^2+b^2=c^2~}$$
La négation de cette affirmation est :

Contre-exemple : Prenons $a=2$ et $b=3$. La somme des deux carrés est : $a^2+b^2=2^2+3^2=4+9=13$, et 13 n’est pas un nombre carré.
Ainsi, il existe couple de nombres entiers $(a;b)$, $a=2$ et $b=3$ tel que pour tout nombre entier $c$ : $\boxed{~a^2+b^2\not=c^2~}$$
L’affirmation est fausse.
CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°3. (Exemple célèbre).
Affirmation 3. « Pour tout entier entier $n$ : [ le nombre $P(n)=n^2+n+41$ est premier ] ».
Cette affirmation est vraie ou fausse ? Justifier.

Corrigé.
$P(n)=n^2+n+41=n(n+1)+41$ est le produit de deux entiers naturels consécutifs, augmenté de $41$.
A l’aide d’une calculatrice ou d’un algorithme, on vérifie que pour tout entier entier $n\in[\![0;39]\!] $ : le nombre $P(n)=n^2+n+41$ est premier !

Pour $n=40$, il est clair que $P(40)=40\times41+41=41(40+1)=41^2$, est divisible par 41. Donc $P(40)$ n’est pas premier.

Conclusion. Il existe au moins un nombre entier $n$, $n=41$, pour lequel $P(n)$ n’est pas premier. Par conséquent, l’affirmation est fausse.
CQFD.$\blacktriangle$

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