1. La contraposée d’une implication logique

Nous avons déjà vu ce qu’est et comment démontrer une implication logique.
Mais il arrive parfois que nous ne pouvons pas faire la démonstration directe d’une implication. A lors nous avons recours à une autre implication équivalente qu’on appelle la contraposée.

Définition 1.
La proposition logique, notée « $(non~Q)\Rightarrow (non P)$ » s’appelle l’implication contraposée ou simplement la contraposée de l’implication « $P\Rightarrow Q$ ».

Propriété 1.
$\bullet~$ l’implication logique « $P\Rightarrow Q$ » et sa contraposée « $(non~Q)\Rightarrow (non P)$ » sont équivalentes. $$[P\Rightarrow Q]\Longleftrightarrow \left[(non~Q)\Rightarrow (non P)\right]$$

Preuve

On sait que $P\Rightarrow Q$ est fausse lorsque $P$ est vraie et $Q$ fausse.

Nous allons faire un tableau de vérité avec, en colonnes : « $P$ », « (non $P$) », « $Q$ », « (non $Q$) », $(P\Rightarrow Q)$ et $(non~Q)\Rightarrow (non P)$. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
P& Q& (non~P)& (non~Q)& P\Rightarrow Q& (non~Q)\Rightarrow (non~P)\\ \hline
V&V&F&F&F&F \\ \hline
\color{brown}{V} & \color{brown}{F}& \color{brown}{F} &\color{brown}{V}&\color{brown}{\textbf{V}} &\color{brown}{\textbf{V}} \\ \hline F&V&V&F&F&F \\ \hline F&F&V&F&F&F\\ \hline \end{array}$$ Les deux propositions logiques « $(P\Rightarrow Q)$ » et « $\left[(non~Q)\Rightarrow (non P)\right]$ » ont la même table de vérité, donc elle sont équivalentes.

2. Méthode de raisonnement par contraposée

En utilisant la propriété précédente, très souvent, pour démontrer « $(P\Rightarrow Q)$ », il est plus facile de démontrer sa contraposée « $\left[(non~Q)\Rightarrow (non P)\right]$ ». C’est ce que nous allons voir dans un exemple.

Exemple résolu n°1.
Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in\R$ par : $f(x)=3x+5$. Soient $x$ et $x’$ deux nombres réels. Démontrer que : $[x\not= x’\Rightarrow f(x)\not=f(x’)]$.

Corrigé.
Nous n’allons pas faire une démonstration directe. Nous utilisons une démonstration par contraposée. Pour cela nous devons démontrer l’implication contraposée : $$ [f(x)=f(x’)\Rightarrow x=x’]$$

Soient $x$ et $x\in\R$.
Supposons que : $f (x) = f (x’)$ (H).
D’après l’hypothèse (H), nous avons les implications suivantes : $$\begin{array}{rrl}
f (x) = f (x’) \Rightarrow & 3x +5 &= 3x’+5 \\ \Rightarrow & 3x +5 – 3x’ – 5 &= 0\\
\Rightarrow & 3x – 3x’ &= 0\\ \Rightarrow & 3(x-x’)&=0\\ \Rightarrow & x-x’&=0\quad (1)\\
\Rightarrow & x&=x’ \end{array}$$ (1) d’après le théorème du produit nul. Par conséquent : $x=x’$. D’où le résultat.

Conclusion. Pour tout $x$ et $x\in\R$. Nous avons démontré que
$[x\not= x’\Rightarrow f(x)\not=f(x’)]$. Donc, par contraposée, on a : $$ [f(x)=f(x’)\Rightarrow x=x’]$$ CQFD.$\blacktriangle$

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3. Exercices résolus

Exercice résolu n°2.
Voici l’énoncé du théorème de Pythagore. « Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse (le plus grand côté) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. »
1°) Écrire la contraposée du théorème de Pythagore.
2°) Écrire la réciproque du théorème de Pythagore.
3°) Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=11$cm, $AC=7$cm et $BC=13$cm.
Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Justifiez votre réponse.
4°) Soit $EFG$ un triangle tel que $EF=12$cm, $FG=13$cm et $EG=5$cm.
Le triangle $EFG$ est-il rectangle ? Justifiez votre réponse.

Corrigé.
1°) Contraposée du théorème de Pythagore.
« Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle ».

2°) Réciproque du théorème de Pythagore.
« Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et son plus grand côté est son hypoténuse »

3°) $ABC$ un triangle tel que $AB=11$cm, $AC=7$cm et $BC=13$cm. Donc son plus grand côté est $[BC]$. Je calcule séparément :
$BC^2=13^2=\color{brown}{\boxed{~169~}}$ ;
et $AB^2+AC^2=11^2+7^2=121+49=\color{brown}{\boxed{~170~}}$.
On constate que : $BC^2\not=AB^2+AC^2$.
Donc, d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n’est pas rectangle.

4°) Soit $EFG$ un triangle tel que $EF=12$cm, $FG=13$cm et $EG=5$cm. Donc son plus grand côté est $[FG]$. Je calcule séparément :
$FG^2=13^2=\color{brown}{\boxed{~169~}}$ ;
et $EF^2+EG^2=12^2+5^2=144+25=\color{brown}{\boxed{~169~}}$.
On constate que : $FG^2=EF^2+EG^2$.
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $EFG$ est rectangle en $E$.

CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°3.
Voici l’énoncé du théorème de Thalès dans un triangle. « Dans un triangle $ABC$, si $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$ et si les deux droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors on a égalité des trois rapports : $$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}~\text{»}$$
1°) Écrire la contraposée du théorème de Thalès.
2°) Écrire la réciproque du théorème de Thalès.

Corrigé.
1°) La contraposée du théorème de Thalès.
« Dans un triangle $ABC$, si $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$ et si deux des trois rapports : $\dfrac{AM}{AB}$ ; $\dfrac{AN}{AC}$ et $\dfrac{MN}{BC}$ ne sont pas égaux, alors les deux droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles ».

2°) La réciproque du théorème de Thalès.
« Dans un triangle $ABC$, si $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$ et si, il y a égalité de deux des trois rapports : $$\dfrac{AM}{AB}~;~\dfrac{AN}{AC}~\text{et}~\dfrac{MN}{BC}$$ Alors les deux droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ».

CQFD.$\blacktriangle$

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