Nature des nombres. Ensembles de nombres

Niveau : 3ème. Seconde.
Pré-requis : Les nombres et la droite graduée.

Sommaire
1. Nature des nombres
2.1. Les nombres entiers naturels
2.2. Les nombres entiers relatifs
3. Les nombres décimaux relatifs
4. Les fractions décimales
5. Les nombres rationnels
6. Les nombres réels

1. Nature des nombres

Nous rencontrons des nombres sont de différentes natures.
On distingue plusieurs types de nombres. Les nombres entiers naturels, les nombres entiers relatifs, les nombres décimaux et décimaux relatifs, les nombres rationnels et les nombres réels. Chaque type de ces nombres forme un ensemble nommé par la lettre initiale qui le définit.
$\mathbb{N}$ pour l’ensemble des nombres entiers naturels. (N pour « Naturel »).
$\mathbb{Z}$ pour l’ensemble des nombres entiers relatifs, (en allemand « Zahl » signifie « nombre »).
$\mathbb{D}$ pour l’ensemble des nombres décimaux relatifs. (D pour « Décimal »)
$\mathbb{Q}$ pour l’ensemble des nombres rationnels, car ils s’écrivent comme « Quotients » de deux entiers.
et $\mathbb{R}$ pour l’ensemble des nombres réels. (R pour « Réel » Tous les nombres qui permettent de repérer un point sur une droite graduée.

2. Les nombres entiers

Un nombre entier naturel est un nombre qui sert à compter ou dénombrer des individus ou des objets dans la nature. 0 faute, 1 chat, 2 pommes, 3 euros, 4 personnes,…
En mathématiques, ce sont des nombres qui n’ont pas de partie décimale ou bien leur partie décimale est nulle. On distingue deux types de nombres entiers :

2.1. Les nombres entiers naturels

Définition 1.
1) Les nombres entiers naturels : $0,1,2,3,\dots ,n,\dots$ forment un ensemble noté $\mathbb{N}$ et dont les éléments sont « groupés » entre deux accolades. $$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots ,n,\dots \}$$ Les trois points $\dots$ se lisent « et ainsi de suite ». On a alors : $$5\in \mathbb{N}\text{qtext}et1,35\notin \mathbb{N}$$

2.2. Les nombres entiers relatifs

Les nombres relatifs peuvent exprimer des situations de gains ou de perte, de résultat positif ou négatif qui seront désignés par un signe « $+$ » ou un signe « $-$ ».

Définition 2.
1) Les nombres entiers relatifs : Ce sont tous les nombres entiers qu’on peut placer de part et d’autre du zéro, sur une droite graduée à des positions entières : $\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots$ Ils forment un ensemble noté généralement $\mathbb{Z}$. On écrit : $$\mathbb{Z}=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots ,n,\dots \}$$
On a alors : $$5\in \mathbb{N}\text{qtext}et1,35\notin \mathbb{N}$$

Le « Z » provient de l’allemand « zahl » qui signifie « nombre ».

Définitions 3.
On distingue trois types de nombres entiers relatifs :
– Zéro est le nombre nul noté : $0$.
– Les nombres entiers positifs, situés à droite du $0$ sur une droite graduée et sont composés d’un signe $+$ et d’une distance à zéro, par exemple : $+25$ est nombre entier positif, de signe $+$ et de distance à zéro égale à $25$.
– Les nombres entiers négatifs, situés à gauche du $0$ sur une droite graduée et sont composés d’un signe $-$ et d’une distance à zéro, par exemple : $-15$ est nombre entier négatif, de signe $-$ et de distance à zéro égale à $15$.

La distance à zéro d’un nombre, notée entre deux barres verticales, est une distance donc toujours un nombre positif. On l’appelle aussi la valeur absolue.
Par exemple : $+25$ est entier positif de valeur absolue : abs$(+25)=|+25|=25$.
$-15$ est entier négatif. Sa valeur absolue est : abs$(-15)=|-15|=15$.

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3. Les nombres décimaux relatifs

Définition 4.
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule en écriture décimale de positions.
Un nombre décimal est composé de deux parties : la partie entière et la partie décimale, séparées par une virgule.
Un nombre décimal relatif est un nombre décimal positif, ou négatif ou nul.

Exemples
$1,85=+1,85$ est un nombre décimal positif.
$-10,325$ est un nombre décimal négatif.
$-8$ est un nombre entier négatif, mais c’est aussi un nombre décimal négatif. Sa partie décimale est nulle. $-8=-8,0$.
$+5=5=+5,0$ est un nombre entier positif. C’est aussi un nombre décimal dont la partie décimale est nulle.

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4. Les fractions décimales

Définition 5.
Une fraction décimale est un nombre $N$ qui s’écrit sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$, c’est-à-dire : $1={10}^0$, $10={10}^1$, $100={10}^2$, …etc. $$\boxed{{\displaystyle N={\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}}}$$

Exemples.
$5={\displaystyle \frac{5}{1}}$ ; ${\displaystyle \frac{23}{10}}$ ; ${\displaystyle \frac{237}{100}}$ ; ${\displaystyle \frac{385}{1000}}$, sont des fractions décimales

Propriété 1.
Tous les nombres décimaux sont des fractions décimales.
Inversement : Toutes les fractions décimales sont des nombres décimaux.

Exemples.
$1,85$ admet deux chiffres après la virgule et on peut écrire : $1,85={\displaystyle \frac{185}{100}}$. C’est une fraction décimale.
Inversement : ${\displaystyle \frac{123}{100}}={\displaystyle \frac{123}{{10}^2}}$ est une fraction décimale. Et on a : ${\displaystyle \frac{123}{100}}=1,23$. Donc c’est un nombre décimal.

5. Les nombres rationnels

5.1. Quotient exact de deux nombres entiers

Définition 6.
Le quotient ou quotient exact de la division d’un nombre $a$ par un nombre non nul $b\ne 0$, s’écrit sous la forme fractionnaire : $$q={\displaystyle \frac{a}{b}}$$
Si $a$ et $b$ sont des entiers ($b$ non nul), alors on dit alors que ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ est une fraction, $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur de la fraction.

Exemples : ${\displaystyle \frac{8}{5}}$ et ${\displaystyle \frac{4}{7}}$ sont des fractions, mais ${\displaystyle \frac{2,35}{6}}$ n’est pas une fraction, c’est un nombre en écriture fractionnaire.

5.2. Les nombres rationnels

Définition 7.
Un nombre est dit rationnel si, et seulement si, il s’écrit sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers relatifs $a$ et $b\ne 0$. L’ensemble des nombres rationnels se note $\mathbb{Q}$ (comme Quotient).
Tous les (autres) nombres qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers relatifs sont dit des nombres irrationnels.

Propriété 2.
Un nombre est rationnel si, et seulement si, il admet une écriture décimale finie ou une écriture décimale illimitée périodique.

Exemples
$1,6={\displaystyle \frac{16}{10}}={\displaystyle \frac{8}{5}}$ est un nombre rationnel. Une fraction dont l’écriture décimale s’arrête.
${\displaystyle \frac{4}{7}}=0.5714285714285714\dots$ est un nombre rationnel. Une fraction dont l’écriture décimale ne s’arrête pas, mais qui est périodique et très bien ordonnée.

$\pi =3.141592653589793\dots$ n’est pas un nombre rationnel. L’écriture décimale de $\pi$ est illimitée et ne contient aucune période. $\pi$ est un nombre irrationnel.

6. Nombres réels

Définition 8.
Les nombres réels sont tous les nombres qui permettent de repérer un point sur une droite graduée. L’ensemble des nombres réels se note $\mathbb{R}$

Exemples
Tous les nombres entiers naturels, les nombres entiers relatifs, les nombres décimaux relatifs, les nombres rationnels, et les nombres irrationnels sont des nombres réels.