Limites d’une fonction en un point

1. Que signifie « $x$ tend vers $a$ » ?

1.1. Que signifie $x\to 0$ ?

Définition 1.
Dire que « $x\to 0$ » et lire « $x$ tend vers $0$ » signifie que « $x$ est suffisamment proche de $0$ » ou encore que « $x$ est situé au voisinage de $0$ » ou encore que « $x$ prend successivement des valeurs aussi proches de $0$ que l’on veut ».

Mais comment ? Il y a une infinité de manières.

On distingue essentiellement « deux manières principales de tendre vers $0$ » :

  1. $x$ peut tendre vers $0$ en prenant des valeurs positives. On écrit « $x\to 0^{+}$ » et on lit « $x$ tend vers $0$ par valeurs positives » ou « $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures » ou encore « $x$ tend vers $0$ à droite ».
  2. $x$ peut tendre vers $0$ en prenant des valeurs négatives. On écrit « $x\to 0^{-}$ » et on lit « $x$ tend vers $0$ par valeurs négatives » ou « $x$ tend vers $0$ par valeurs inférieures » ou encore « $x$ tend vers $0$ à gauche ».

1.2. Que signifie « $x\to a$ » ?

Définition 2.
Dire que « $x\to a$ » et lire « $x$ tend vers $a$ » signifie que $x$ prend successivement des valeurs aussi proches de $a$ que l’on veut. Ce qui peut se traduire par « $(x-a)\to 0$ ».

Comme pour $0$, on distingue « deux manières principales de tendre vers $a$ » :

  1. $x$ peut tendre $a$ en prenant des valeurs supérieures à $a$, on écrit que « $x\to a^{+}$ » et on lit « $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures » ou encore « $x$ tend vers $a$ à droite ».
    $$\begin{array}{rcl}
    [x\to a^{+}] &\Leftrightarrow &[(x-a)\to 0\text{ et }x>a]\\
    &\Leftrightarrow &[(x-a)\to 0\text{ et }x-a>0]\\
    \end{array}$$
  2. $x$ peut tendre vers $a$ en prenant des valeurs inférieures à $a$, on écrit que « $x\to a^{-}$ » et on lit « $x$ tend vers $a$ par valeurs inférieures » ou « $x$ tend vers $a$ à gauche ».
    $$\begin{array}{rcl}
    [x\to a^{-}] &\Leftrightarrow &[(x-a)\to 0\text{ et }x<a]\\
    &\Leftrightarrow &[(x-a)\to 0\text{ et }x-a<0]\\
    \end{array}$$

2. Limite finie d’une fonction en un point

Définition 3. 
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$, $a\in I$ et $L$ un nombre réel donné.
On dit que $f(x)$ tend vers $L$ quand $x$ tend vers $a$ lorsque : « $f(x)$ devient aussi proche de $L$ que l’on veut lorsque $x$ est suffisamment proche de $a$ ». On écrit alors $$\color{brown}{ \dlim_{x\to a} f(x) = L }$$

Autrement dit :

Définition 3bis.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$, $a\in I$ et $L$ un nombre réel donné.
On dit que $f (x)$ tend vers $L$ quand $x$ tend vers $a$ lorsque : « tout intervalle ouvert contenant $L$ contient toutes les valeurs $f (x)$ lorsque $x$ est suffisamment proche de $a$ ».

Cette définition peut encore s’écrire, en choisissant des intervalles ouverts centrés en $L$ et de rayon $\varepsilon > 0$, aussi petit que l’on veut. C’est-à-dire :

Pour tout nombre réel $\varepsilon > 0$ (aussi petit soi-il), il existe un réel $\alpha > 0$ tel que :
Pour tout $x\in I$ :
$$[\text{Si } a-\alpha < x < a + \alpha,\text{ Alors }L-\varepsilon < f (x) < L + \varepsilon]$$
ou encore :
$$[\text{Si } \abs{x-a}<\alpha,\text{ Alors }\abs{f (x)- L}<\varepsilon]$$

On s’éloigne du programme …

3. Exemple de référence :

Théorème fondamental.
Soit $P$ une fonction polynôme définie sur $\R$ et $a\in I$. Alors, les limites de $P(x)$ à droite et à gauche de $a$ sont identiques et on a :
$$\color{brown}{ \dlim_{x\to a} P(x) = P(a) }$$

Exemple.
Soit $P$ la fonction polynôme définie sur $\R$ par : $P(x) = 3 x^2 -5 x +7$.
1°) Calculer $\dlim_{x\to 0} P(x)$.
2°) Calculer $\dlim_{x\to -2} P(x)$.

Corrigé.
1°) $\dlim_{x\to 0} P(x) = P(0) = 3\times 0^2-5\times 0 +7 = 7$. Donc :
$$\color{brown}{\dlim_{x\to 0} P(x) = 7}$$
2°) De même, on a : $\dlim_{x\to -2} P(x) = P(-2) = 3\times (-2)^2-5\times(-2) +7 = 29$. Donc : $$\color{brown}{\dlim_{x\to -2} P(x) = 29}$$

2.3. Limite infinie d’une fonction en un point

Définition 4.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $a\in I$ ou $a\not\in I$.
On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) quand $x$ tend vers $a$ lorsque : « $f(x)$ devient aussi grand que l’on veut (resp. devient négatif et aussi grand que l’on veut en valeur absolue) lorsque $x$ est suffisamment proche de $a$ ». On écrit :
$$\color{brown}{ \dlim_{x\to a} f(x) = +\infty}\quad\text{(resp. }-\infty)$$

3. Asymptote verticale

Définition 5. 
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a\in I$ ou $a\not\in I$.
Si $\color{brown}{\dlim_{x\to a^{-}} f(x) =\pm\infty}$ (resp. $\color{brown}{\dlim_{x\to a^{+}} f(x) =\pm\infty}$), on dit que la droite d’équation « $x = a$ » est une asymptote verticale à la courbe de $f$.

Limites de référence :

Limites de la fonction inverse en $0$ ?
$$\color{brown}{\dlim_{x\to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = -\infty }\quad\text{et}\quad \color{brown}{\dlim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x} = +\infty }$$
Donc, la droite d’équation $x=0$ est une asymptote verticale à la courbe.

D’une manière analogue, on a :

$\bullet$ Si $k$ est impair :
$$\color{brown}{\boxed{\;\dlim_{x\to 0^{-}}\dfrac{1}{x^k}=-\infty\;}}\quad\text{et}\quad\color{brown}{\boxed{\;\dlim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x^k}=+\infty\;}}$$
$\bullet$ Si $k$ est pair :
$$\color{brown}{\boxed{\;\dlim_{x\to 0^{-}}\dfrac{1}{x^k}=+\infty\;}}\quad\text{et}\quad\color{brown}{\boxed{\;\dlim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x^k}=+\infty\;}}$$
$\bullet$ et pour la fonction inverse de la “racine carrée”
$$\color{brown}{\boxed{\;\dlim_{x\to 0^{+}} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = +\infty\;}}$$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Soit $f$ la fonction définie par sa courbe représentative ${\cal C}_f$. Par lecture graphique, déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $\pm\infty$ ou aux points singuliers. Et en déduire l’existence ou non d’asymptotes.

Corrigé.

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