Limites d’une fonction à l’infini


1. Limite finie d’une fonction à l’infini

Définition 1
Soit $a\in\R$. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $\left]a; +infty\right[$ et $L$ un nombre réel donné.
On dit que $f (x)$ tend vers $L$ quand $x$ tend vers $+\infty$, lorsque : « $f (x)$ devient aussi proche de $L$ que l’on veut lorsque $x$ est suffisamment grand ». On écrit alors :
$$\color{brown}{ \dlim_{x\to +\infty}f(x)= L}$$

Autrement dit :

Définition 1bis
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $\left]a; +infty\right[$ et $L$ un nombre réel donné.
On dit que $f (x)$ tend vers $L$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque : « tout intervalle ouvert contenant $L$, contient toutes les valeurs $f(x)$, pour tout $x$ supérieur à un certain réel $A > 0$ ».

Cette définition peut s’écrire, en choisissant des intervalles ouverts centrés en $L$ et de rayon $\varepsilon > 0$, aussi petit que l’on veut ; c’est-à-dire :

Pour tout nombre réel $\varepsilon > 0$ (aussi petit soi-il), il existe un réel $A > 0$ telle que :
$$[\text{Si }x > A,\text{ Alors }L – \varepsilon < f(x) < L + \varepsilon]$$
Ce qui peut s’écrire encore :
$$[\text{Si }x > A, \text{Alors }\abs{f(x)- L}< \varepsilon]$$

Illustration graphique : Si $f(x)=2 +\dfrac{1}{x}$, Alors : $\color{brown}{ \dlim_{x\to +\infty}f(x) = 2}$

Limites de référence.
1°) $\color{brown}{\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}= 0}$.
(2) $\color{brown}{\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^k}= 0}$ ; $k > 0$ ;
et (3) $\color{brown}{\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}= 0}$.

D’une manière analogue, on peut énoncer la limite finie d’une fonction lorsque $x$ tend vers $-\infty$. Nous obtenons les mêmes limites de référence (1) et (2) , bien sûr.

1.2. Asymptote horizontale

Définition 2
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $\left]a; +\infty\right[$ (resp. $\left]-\infty;a\right[$). Si $f$ admet une limite finie $L\in\R$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ (resp. $-\infty$), on dit que la droite d’équation « $y = L$ » est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ vers $+\infty$ (resp. $-\infty$). [Lire A-symptote].

Dans l’exemple précédent, la droite la droite d’équation « $y = 2$ » est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ vers $+\infty$ ; (et également vers $-\infty$).

1.2. Limite infinie d’une fonction à l’infini

Définition 3
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $\left]a; +\infty\right[$.
On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque : « $f(x)$ devient aussi grand que l’on veut lorsque $x$ devient suffisamment grand ». On écrit alors : $$\color{brown}{ \dlim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty }$$

Autrement dit :

Définition 3bis.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $\left]a; +\infty\right[$.
On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque : « tout intervalle de la forme $\left]M; +\infty\right[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour tout $x$ supérieur à un certain réel $A > 0$ ».

Cette définition peut encore s’écrire :
Pour tout nombre réel $M > 0$ (aussi grand soit-il), il existe un nombre réel $A>0$ tel que
$$[\text{Si }x >A, \text{Alors }f(x) > M]$$

Illustration graphique : Si $f(x)= 2\sqrt{x}$, Alors $\color{brown}{\dlim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty}$.

Limites de référence.
1°) $\color{brown}{\dlim_{x\to+\infty}x= +\infty}$ ;
(2) $\color{brown}{\dlim_{x\to+\infty}x^k= +\infty}$ ; $k > 0$ ;
et (3) $\color{brown}{\dlim_{x\to+\infty}\sqrt{x}+\infty}$.

D’une manière analogue, nous pouvons écrire une définition de la limite d’une fonction, égale à $-\infty$, lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Définition 4
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $\left]a; +\infty\right[$.
On dit que $f (x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque : « $f (x)$ devient négatif et aussi grand que l’on veut, en valeur absolue, lorsque $x$ devient suffisamment grand ». On écrit alors $$\color{brown}{ \dlim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty }$$

Autrement dit :

Définition 4bis. 
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $\left]a; +\infty\right[$.
On dit que $f (x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque : « tout intervalle de la forme $\left]-\infty;M\right[$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour tout $x$ supérieur à un certain réel $A>0$ ».

Cette définition peut encore s’écrire :

Pour tout nombre réel $M < 0$ (aussi grand soit-il), il existe un nombre réel $A>0$ tel que
$$[\text{Si }x>A,\text{ Alors }f(x) < M]$$

Exemple. Si $f(x)= -2 x ^2$, alors : $\color{brown}{ \dlim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty}$

De même, nous pouvons écrire une définition de la limite d’une fonction, égale à $\pm \infty$, lorsque $x$ tend vers $-\infty$.

Exemple. $f(x)= -2 x ^2$, alors $\color{brown}{ \dlim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty}$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Soit $f$ la fonction définie par sa courbe représentative ${\cal C}_f$. Par lecture graphique, déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $\pm\infty$. Et en déduire l’existence d’asymptotes horizontales.

Corrigé.
Par lecture graphique, Il semble que la fonction $f$ admet une limite finie $L=-2$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ et une limite finie $L’=+2$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Donc : $$\color{brown}{ \dlim_{x\to -\infty} f(x) = -2}$$
et $$\color{brown}{ \dlim_{x\to +\infty} f(x) = 2}$$

On peut en déduire donc que la courbe de la fonction $f$ admet deux asymptotes horizontales :
$\bullet$ La droite $d$ d’équation $y=-2$ est une asymptote horizontale à la courbe $C_f$ vers $-\infty$.
$\bullet$ et la droite $d’$ d’équation $y=2$ est une asymptote horizontale à la courbe $C_f$ vers $+\infty$.

Exercice résolu n°2.
Soit $f$ la fonction définie par sa courbe représentative ${\cal C}_f$. Par lecture graphique, déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $\pm\infty$. Et en déduire l’existence d’asymptotes horizontales.

Corrigé.
Par lecture graphique, Il semble que la fonction $f$ admet une limite finie $L=1$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ et une limite infinie $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Donc : $$\color{brown}{ \dlim_{x\to -\infty} f(x) = 1}$$
et $$\color{brown}{ \dlim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty}$$

On peut en déduire donc que :
$\bullet$ la courbe de la fonction $f$ admet une asymptote horizontale à la courbe $C_f$ vers $-\infty$, la droite $d$ d’équation $y=1$.
$\bullet$ la courbe de $f$ n’admet pas d’asymptote horizontale vers $+\infty$.