Limites de fonctions et théorèmes de comparaison

1. Théorèmes de comparaison

Comme pour les suites, nous pouvons utiliser les théorèmes de comparaison avec les limites de référence pour calculer les limites de fonctions composées.

Soit $I$ un intervalle de $\R$. On désigne par $a$ soit un nombre réel dans $I$, soit $-\infty$ ou $+\infty$.

Théorème 1.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $I$ telles que pour tout $x\in I$ : $f(x)\leqslant g(x)$. Alors :
Si $\dlim_{x\to a}f(x)=\ell\;$ et $\;\dlim_{x\to }g(x)=\ell’\;$, Alors : $\ell\leqslant\ell’$.

Définition.
Un corollaire est une conséquence immédiate du théorème précédent.

Corollaire.
Soit $f$ une fonction définie sur $I$, et il existe un réel $M$ tel que pour tout $x\in I$ : $f(x) \leqslant M$. Alors :
Si $\dlim_{x\to a}f(x)=\ell$, Alors $\ell\leqslant M$.

Il suffit d’appliquer le théorème 1 avec la fonction $g$ constante et égale à $M$ sur $I$.

Théorème 2.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $I$ telles que pour tout $x\in I$ : $f(x)\leqslant g(x)$. Alors :
1°) Si $\;\dlim_{x\to a} g(x) = -\infty$, alors : $\dlim_{x\to a} f(x) = -\infty$
2°) Si $\;\dlim_{x\to a} f(x) = +\infty$, alors : $\dlim_{x\to a} g(x) = +\infty$.

Nous avons un deuxième théorème de comparaison très important, appelé très souvent « le théorème des gendarmes » :

Théorème 2. 
Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur $I$ telles que pour tout $x\in I$ : $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$. Alors :
Si $\dlim_{x\to a} g(x) = \dlim_{x\to a} h(x) = \ell\in\R$, Alors : $\dlim_{x\to a} f(x)=\ell$.

Exercice résolu n°1.
Déterminer la limite de la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{2x \sin(5x^2)}{x^2+1}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Corrigé.
Remarque. C’est le même exemple que nous avions choisi pour les suites.

On sait que pour tout nombre réel $X$ : $-1 \leqslant \sin X \leqslant 1$
Donc, pour tout nombre réel x : $-1 \leqslant \sin (5 x^2) \leqslant 1$
D’autre part, pour tout nombre réel $x > 0$, on a : $\dfrac{2 x }{x^2+1} > 0$.
En multipliant les trois membres de l’inégalité précédente par ce nombre strictement positif, on obtient :
$$\dfrac{-2x}{x^2+1}\leqslant\dfrac{2x\sin(5x^2)}{x^2+1}\leqslant\dfrac{2x}{x^2+1}$$
Or les deux fonctions $g$ et $h$ définies par : $g(x)=\dfrac{-2x}{x^2+1}$ et $h(x)= \dfrac{2x}{x^2+1}$ admettent toutes les deux la même limite finie égale à $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Donc, d’après le théorème des gendarmes, $f(x)$ tend vers cette même limite $0$.
Conclusion. : $\color{brown}{\boxed{\;\dlim_{x\to +\infty} f(x) = 0\;}}$

2. Exercices résolus

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