1. Théorèmes de comparaison
Comme pour les suites, nous pouvons utiliser les théorèmes de comparaison avec les limites de référence pour calculer les limites de fonctions composées.
Soit $I$ un intervalle de $\R$. On désigne par $a$ soit un nombre réel dans $I$, soit $-\infty$ ou $+\infty$.
Théorème 1.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $I$ telles que pour tout $x\in I$ : $f(x)\leqslant g(x)$. Alors :
Si $\dlim_{x\to a}f(x)=\ell\;$ et $\;\dlim_{x\to }g(x)=\ell’\;$, Alors : $\ell\leqslant\ell’$.
Définition.
Un corollaire est une conséquence immédiate du théorème précédent.
Corollaire.
Soit $f$ une fonction définie sur $I$, et il existe un réel $M$ tel que pour tout $x\in I$ : $f(x) \leqslant M$. Alors :
Si $\dlim_{x\to a}f(x)=\ell$, Alors $\ell\leqslant M$.
Il suffit d’appliquer le théorème 1 avec la fonction $g$ constante et égale à $M$ sur $I$.
Théorème 2.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $I$ telles que pour tout $x\in I$ : $f(x)\leqslant g(x)$. Alors :
1°) Si $\;\dlim_{x\to a} g(x) = -\infty$, alors : $\dlim_{x\to a} f(x) = -\infty$
2°) Si $\;\dlim_{x\to a} f(x) = +\infty$, alors : $\dlim_{x\to a} g(x) = +\infty$.
Nous avons un deuxième théorème de comparaison très important, appelé très souvent « le théorème des gendarmes » :
Théorème 2.
Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur $I$ telles que pour tout $x\in I$ : $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$. Alors :
Si $\dlim_{x\to a} g(x) = \dlim_{x\to a} h(x) = \ell\in\R$, Alors : $\dlim_{x\to a} f(x)=\ell$.
Exercice résolu n°1.
Déterminer la limite de la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{2x \sin(5x^2)}{x^2+1}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.