Les suites géométriques à termes strictement positifs constituent un modèle discret d’évolutions relatives constantes à croissance exponentielle. Ainsi, les suites géométriques permettent de modéliser l’évolution d’un capital à intérêts composés, l’évolution d’une population de bactéries, de lapins ou une population humaine dans une région ou un pays.
Les suites géométriques sont des suites qui s’expriment sous une forme récurrente et sous une forme explicite, donc avec une fonction exponentielle associée.

Sommaire

  1. Évolution d’un capital dans un compte épargne
  2. Évolution de la population française
  3. Modèle – avec une suite arithmético-géométrique

1. Évolution d’un capital dans un compte épargne

Exemple 1.
On place un capital de 2$\,$000 € au taux annuel de 3% à intérêts composés.
On appelle $C_0$ le capital initial (en euros) et $C_n$ le capital (en euros) obtenu au bout de $n$ années. $n$ étant un entier naturel.
1°) Calculer le montant épargné au bout d’une année, puis au bout de 2 années.
2°) Montrer que les capitaux (en euros) obtenus ainsi définissent une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.
3°) Pour tout entier naturel $n$, exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
4°) Déterminer à partir de combien d’années, le capital va doubler.

Corrigé
1°) Calculer le montant épargné au bout d’une année, puis au bout de 2 années.
Le capital initial est $C_0=2\,000~$€.
On sait que si le taux d’évolution d’une quantité est de $t\%$, le coefficient multiplicateur est donné par la formule : $$k=\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$$ Donc, ici nous avons : $$k=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)=1,03$$ Ainsi : $$C_1=C_0\times k = 2000\times1,03=2060~\text{€}$$ Conclusion. $\color{brown}{\boxed{~C_1=2060~\text{€}~}}$
D’une manière analogue, nous avons : $$C_2=C_1\times k= 2060\times1,03=20121,80~\text{€}$$ Conclusion. $\color{brown}{\boxed{~C_2=20121,80~\text{€}~}}$

2°) Montrons que les capitaux (en euros) obtenus ainsi définissent une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.
En effet, pour tout entier naturel $n$, si le capital acquis la $n$-ième année, alors le capital $C_{n+1}$ acquis l’année suivante s’obtient en ajoutant les intérêts au capital précédent, soit en multipliant $C_n$ par le coefficient multiplicateur $k=1,03$. Ce qui donne : $$\color{brown}{\boxed{~C_{n+1}=1,03\times C_{n}~}}$$
Conclusion. Cette expression définit une suite par récurrence et montre que la suite $(C_n)$ est une suite géométrique de raison $r=1,03$ et de premier terme $C_0=2\,000$.

3°) Pour tout entier naturel $n$, exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
La suite $(C_n)$ est une suite géométrique de raison $r=1,03$ et de premier terme $C_0=2\,000$. Or, la forme explicite d’une suite géométrique $(C_n)$ de raison $r$ et de premier terme $C_0$ est pour tout $n\in\N$ : $C_n=C_0\times r^n$.
Conclusion. L’expression de $C_n$ en fonction de $n$ est pour tout $n\in\N$ : $$\color{brown}{\boxed{~C_n=2\,000\times 1,03^n~}}$$

4°) Déterminer à partir de combien d’années, le capital va doubler.
Il y a plusieurs méthodes.
1ère méthode à la calculatrice.
On rentre les éléments de la suite dans la calculatrice et on cherche le rang du premier terme de la suite qui est supérieur ou égal à 70. On obtient :
$$\color{brown}{\boxed{~C_{23}=3947,17\quad\text{et}\quad C_{24}=4065,59~}}$$
Conclusion. Le capital doublera pendant la 24-ème année.

Remarque
On est obligé de donner les deux valeurs, la dernière qui précède et la première qui dépasse les $4\,000$, sachant que la suite est croissante et que, après la 24ème année, toutes les valeurs de $C_n$ seront supérieures à $4000$.
CQFD.$\blacktriangle$

2. Évolution de la population française

Exemple 1. (Bac STMG 2018, adapté).
Le tableau ci-dessous donne l’effectif de la population française et son taux d’évolution annuel pour
certaines années comprises entre 2012 et 2016. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
\text{Année}& 2012&2013&2014&2015&2016\\ \hline
\text{Population française en Mh} &65,66&66&66,33&66,62&66,90\\ \hline
\end{array}$$ On admet que la population française augmente en moyenne de 0,5 % par an à partir de l’année 2012 et jusqu’en 2030. On modélise cette évolution à l’aide d’une suite géométrique notée $(u_n )$. Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente la population en (2012$+n$), exprimée en millions d’habitants. On a ainsi le premier terme de cette suite est $u_0 = 65,66$.
1°) Préciser la raison de la suite $(u_n)$.
2°) Pour tout entier naturel $n$, inférieur ou égal à $18$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3°) Vérifier que cette suite définit bien un modèle pour l’évolution de cette population.
4°) En déduire, à l’aide de ce modèle, une nouvelle estimation de la population française en 2020
5°) On souhaite estimer l’année à partir de laquelle la population française dépassera les 70 millions d’habitants. Pour cela, on considère l’algorithme incomplet ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|}\hline
\text{Algorithme}\\ \hline
U\leftarrow \cdots\cdots\cdots\cdots\\
N\leftarrow \cdots\cdots\cdots\cdots\\
\text{Tant que } U<70\\
U\leftarrow \cdots\cdots\cdots\cdots\\
N\leftarrow N+1\\
\text{Fin de tant que}\\ \hline\end{array}$$

Corrigé
1°) Préciser la raison de la suite $(u_n)$.
Si la population augmente chaque année de $0,5\%$, le coefficient multiplicateur est $$k=\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$$ Donc, ici nous avons : $$k=\left(1+\dfrac{0,5}{100}\right)=1,005$$ Conclusion. La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $\color{brown}{\boxed{~r=1,005~}}$

2°) Pour tout entier naturel $n$, inférieur ou égal à $18$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $r=1,005$ et de premier terme $u_0=65,06$. On a donc, pour tout entier naturel $n$ : $$\color{brown}{\boxed{~u_n =65,06 \times 1,005^n~}}$$
3°) Pour vérifier que cette suite définit bien un modèle pour l’évolution de cette population, nous allons dresser le tableau de valeurs de la suite entre 2012 et 2016 et comparer les résultats.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
\text{Année}& 2012&2013&2014&2015&2016\\ \hline
\text{Population française en Mh} &65,66 &66 &66,33 &66,62 &66,90\\ \hline
\text{Estimation avec la suite }(u_n) &65,66 &65,99 &66,32 &66,65 &66,98\\ \hline
\end{array} $$
Nous constatons que les valeurs sont très voisines, donc cette suite donne un modèle pour une estimation de la population.

4°) En déduire une nouvelle estimation de la population française en 2020
L’année $2020=2012+8$ correspond au rang $n=8$, d’où :
$$\color{brown}{\boxed{~u_8=65,66 \times 1,005^8\simeq 68,332~}}$$ Conclusion. Une estimation de la population française calculée par ce modèle est d’environ $68,33$ millions d’habitants.

5°) En déduire, à l’aide de ce modèle, une nouvelle estimation de la population française en 2020.
On souhaite estimer l’année à partir de laquelle la population française dépassera les 70 millions d’habitants. Pour cela, on considère l’algorithme incomplet ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|}\hline
\text{Algorithme}\\ \hline
U\leftarrow 65,66\\
N\leftarrow 0\\
\text{Tant que } U<70\\
U\leftarrow U\times 1,005\\
N\leftarrow N+1\\
\text{Fin de tant que}\\ \hline\end{array}$$

Pour estimer l’année à partir de laquelle la population française dépassera les 70 millions d’habitants, on utilise plusieurs méthode.
1°) L’algorithme sur calculatrice ;
2°) Un tableur ;
3°) La rubrique « Suites » de la calculatrice.
On rentre les éléments de la suite dans la calculatrice et on cherche le rang du premier terme de la suite qui est supérieur ou égal à 70. On obtient :
$$\color{brown}{\boxed{~u_{12}=69,70977\quad\text{et}\quad u_{13}=70,05831~}}$$
Conclusion. La population française dépassera les 70 millions d’habitants la 13-ème année, soit en 2025.
CQFD.$\blacktriangle$

Remarque
On est obligé de donner les deux valeurs, la dernière qui précède et la première qui dépasse les $70$, sachant que la suite est croissante et que, après la 13ème année, toutes les valeurs de $u_n$ seront supérieures à $70$.

3. Modèle – avec une suite arithmético-géométrique

Exemple 3. (Bac S Asie 23 juin 2016)
Une société produit des bactéries pour l’industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu
nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20 % en un jour.
La société met en place le dispositif industriel suivant.
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour,
à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100 g de
bactéries sont perdus.
L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bactéries.
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite (un ) définie de la façon
suivante : u0 = 1000 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 1,2un − 100.
1° a) Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé.
On précisera en particulier ce que représente un .
b) L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera
30 kg. À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
c) On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la
question précédente.
Recopier et compléter cet algorithme.
$$\begin{array}{|ll|}\hline
&\text{Algorithme}\\ \hline
\text{Variables} : & u \text{ et }n \text{ sont des nombres}\\
\text{Traitement} : & u \text{ prend la valeur }1 000\\
& n \text{ prend la valeur }0\\
& \text{Tant que}……………\text{faire}\\
& \quad u \text{ prend la valeur} ……….\\
& \quad n \text{ prend la valeur }n + 1\\
& {Fin de Tant que}\\ \hline \end{array}$$
2° a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, $u_n > 1000$.
___b) Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
3° On définit la suite $(v_n)$ par : pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n − 500$.
___a) Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
___b) Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
___c) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Corrigé.
A TERMINER
CQFD.$\blacktriangle$