L’équivalence logique
1. Propositions logiques équivalentes
Définition 1.
Soit $P$ et $Q$ deux propositions logiques. Nous dirons que les deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes et on note : $$P\Leftrightarrow Q$$ si, et seulement si, elles sont toutes les deux vraies, ou toutes les deux fausses simultanément. Nous écrirons aussi : « $P$ équivaut à $Q$ » ou « $P$ est équivalente à $Q$ » ou« $P$ si, et seulement si, $Q$ ».
Cette dernière phrase peut se lire : « $P$ est vraie si, et seulement si, $Q$ est vraie ».
On peut définir « l’équivalence logique » en utilisant la propriété suivante :
Propriété 1.
Soit P et Q deux propositions logiques. Nous dirons que les deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes si, et seulement si, on a la double implication : $(P\Rightarrow Q)$ et $(Q\Rightarrow P)$. On peut donc écrire :
$$[P\Leftrightarrow Q] \;\text{équivaut à}\; [(P\Rightarrow Q)\;\text{et}\; (P\Rightarrow Q)]$$
Autrement dit : Si l’une est vraie, alors l’autre est vraie et si l’une est fausse, alors l’autre est fausse.
Exemple 1.
Soit $x$ un nombre réel. L’équivalence logique : $$(x=2)\Leftrightarrow (x+3=5)$$ est une proposition vraie.
Démonstration.
Nous allons utiliser une double implication.
Soit $x$ un nombre réel.
($\Rightarrow$ ?) Supposons que $x=2$.
On a alors : $x+3=2+3$.
Donc : $x+3=5$.
Par conséquent, l’implication ($\Rightarrow$) est vraie.
($\Leftarrow$ ?) Réciproquement.
Supposons que $x+3=5$.
On a alors : $x+3-3=5-3$.
Donc : $x=2$.
Par conséquent, l’implication ($\Leftarrow$) est vraie.
Conclusion. Les deux propositions ($x=2$) et ($x+3=5$) sont donc équivalentes.
Propriété 2. (Utilisation de la contraposée)
Soit P et Q deux propositions logiques. Nous dirons que les deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes si, et seulement si, leurs négations sont équivalentes :
$$(P\Rightarrow Q)\;\text{et}\;[(non P)\Rightarrow (non Q)]$$
Par contraposée, nous savons que : « deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes si, et seulement si, elles sont toutes les deux vraies, ou toutes les deux fausses simultanément » ou encore que : « deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes si, et seulement si, leurs négations sont équivalentes ».
2. Principes de démonstration d’une équivalence logique
1ère méthode
- Raisonnement par double implication (Propriété n°1).
Pour démontrer que deux propriétés $P$ et $Q$ sont équivalentes, nous démontrons que l’implication dans un sens $(P\Rightarrow Q)$ est vraie, puis que sa réciproque, l’implication dans l’autre sens $(Q\Rightarrow P)$ est également vraie. (Exemple 1.)
2ème méthode directe
- Raisonnement par équivalences successives (Propriété n°3 et 3bis).
La propriété 3 qui suit s’appelle la propriété de « transitivité de l’équivalence » et est à la base du « raisonnement par équivalences successives ».
Propriété 3.
Soient $P$, $Q$ et $R$ trois propositions logiques.
Si « $P\Leftrightarrow Q$ » et « $Q\Leftrightarrow R$ », Alors « $P\Leftrightarrow R$ ».
On peut donc généraliser cette propriété à une suite de plusieurs propositions logiques, créant un enchaînement d’équivalences logiques qui aboutissent à la conclusion.
Propriété 3bis.
Soient $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ quatre propositions logiques.
Si « $P_1\Leftrightarrow P_2$ » et « $P_2\Leftrightarrow P_3$ » et « $P_3\Leftrightarrow P_4$ » ; Alors « $P_1\Leftrightarrow P_4$ ».
Rédaction de la démonstration de ($P_1\Leftrightarrow P_4$)
- 1ère étape :
Nous avons les équivalences (successives) suivantes : $$\begin{array}{rcl}
P_1\text{ est vraie} &\Leftrightarrow& P_2\text{ est vraie ; d’après telle propriété.}\\
&\Leftrightarrow& P_3\text{ est vraie ; car+justification}\\
&\Leftrightarrow& P_4\text{ est vraie ; d’après le théorème de Untel.}\\
\end{array}$$ - 2ème étape :
Conclusion. L’équivalence $P_1\Leftrightarrow P_4$ est vraie.
3ème méthode : par contraposée.
- Raisonnement par équivalences successives (Propriété n°2).
Par contraposée, on a équivalence entre les deux équivalences : $$(P\Rightarrow Q)\;\text{et}\;[(non P)\Rightarrow (non Q)]$$ Donc, pour démontrer que $(P\Rightarrow Q)$, il est équivalent de démontrer que : $[(non P)\Rightarrow (non Q)]$.
Exemple 2.
1°) Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f (x) =3x+5$. Soient $x$ et $x’$ deux nombres réels. Démontrer que : $f(x) \not= f(x’) \Leftrightarrow x\not= x’$.
Démonstration.
Nous allons faire une démonstration directe par contraposée. Ce qui revient à démontrer que :
$$f(x)= f(x’) \Leftrightarrow x= x’$$
Nous avons les équivalences suivantes : $$\begin{array}{rcl}
f(x) \not= f(x’) &\Leftrightarrow& 3x+5 &=& 3x’+5\\
&\Leftrightarrow& 3x+5-5 &=& 3x’+5-5\\
&\Leftrightarrow& 3x&=& 3x’\\
&\Leftrightarrow& \dfrac{3x}{3}=\dfrac{3x’}{3} \\
&\Leftrightarrow& x=x’ \\
\end{array}$$
Par conséquent, $f(x)= f(x’) \Leftrightarrow x= x’$.
Conculsion. Par contraposée, nous pouvons affirmer que pour tout nombres réels $x$ et $x’$, on a : $$f(x) \not= f(x’) \Leftrightarrow x\not= x’$$
Remarque.
En général, dans une suite d’équivalences logiques, nous pouvons substituer « si, et seulement si, » ou simplement l’abréviation « (ssi) » au symbole $\Leftrightarrow$.
Nous devons suivre l’une ou l’autre méthode de raisonnement pour démontrer l’équivalence de deux propriétés.
3. Autres techniques
Pour démontrer une équivalence logique, on peut commencer, à partir des données du problème, par démontrer un « petit résultat utile », un résultat intermédiaire qui nous permet de justifier une étape de la démonstration et montrer que notre conclusion est vraie.
4. Exercices résolus
Exercice résolu n°1. Résolution d’une équation.
Soit $x$ un nombre réel. Démontrer que :
$$2x^2+7x-3 = x(2x+5)+5 \Leftrightarrow x=2$$
Exercice résolu n°1. En géométrie.
Soit $x$ un nombre réel. Démontrer que :
$$2x^2+7x-3 = x(2x+5)+5 \Leftrightarrow x=2$$
5. Exercices supplémentaires pour s’entraîner
Liens connexes
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