L’équivalence logique

1. Propositions logiques équivalentes

Définition 1.
Soit $P$ et $Q$ deux propositions logiques. Nous dirons que les deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes et on note : $$P\Leftrightarrow Q$$ si, et seulement si, elles sont toutes les deux vraies, ou toutes les deux fausses simultanément. Nous écrirons aussi : « $P$ équivaut à $Q$ » ou « $P$ est équivalente à $Q$ » ou« $P$ si, et seulement si, $Q$ ».
Cette dernière phrase peut se lire : « $P$ est vraie si, et seulement si, $Q$ est vraie ».

On peut définir « l’équivalence logique » en utilisant la propriété suivante :

Propriété 1.
Soit P et Q deux propositions logiques. Nous dirons que les deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes si, et seulement si, on a la double implication : $(P\Rightarrow Q)$ et $(Q\Rightarrow P)$. On peut donc écrire :
$$[P\Leftrightarrow Q] \;\text{équivaut à}\; [(P\Rightarrow Q)\;\text{et}\; (P\Rightarrow Q)]$$

Autrement dit : Si l’une est vraie, alors l’autre est vraie et si l’une est fausse, alors l’autre est fausse.

Exemple 1.
Soit $x$ un nombre réel. L’équivalence logique : $$(x=2)\Leftrightarrow (x+3=5)$$ est une proposition vraie.

Démonstration.
Nous allons utiliser une double implication.
Soit $x$ un nombre réel.
($\Rightarrow$ ?) Supposons que $x=2$.
On a alors : $x+3=2+3$.
Donc : $x+3=5$.
Par conséquent, l’implication ($\Rightarrow$) est vraie.

($\Leftarrow$ ?) Réciproquement.
Supposons que $x+3=5$.
On a alors : $x+3-3=5-3$.
Donc : $x=2$.
Par conséquent, l’implication ($\Leftarrow$) est vraie.
Conclusion. Les deux propositions ($x=2$) et ($x+3=5$) sont donc équivalentes.

Propriété 2. (Utilisation de la contraposée)
Soit P et Q deux propositions logiques. Nous dirons que les deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes si, et seulement si, leurs négations sont équivalentes :
$$(P\Rightarrow Q)\;\text{et}\;[(non P)\Rightarrow (non Q)]$$

Par contraposée, nous savons que : « deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes si, et seulement si, elles sont toutes les deux vraies, ou toutes les deux fausses simultanément » ou encore que : « deux propositions $P$ et $Q$ sont équivalentes si, et seulement si, leurs négations sont équivalentes ».


2. Principes de démonstration d’une équivalence logique

1ère méthode

  • Raisonnement par double implication (Propriété n°1).
    Pour démontrer que deux propriétés $P$ et $Q$ sont équivalentes, nous démontrons que l’implication dans un sens $(P\Rightarrow Q)$ est vraie, puis que sa réciproque, l’implication dans l’autre sens $(Q\Rightarrow P)$ est également vraie. (Exemple 1.)

2ème méthode directe

  • Raisonnement par équivalences successives (Propriété n°3 et 3bis).
    La propriété 3 qui suit s’appelle la propriété de « transitivité de l’équivalence » et est à la base du « raisonnement par équivalences successives ».

Propriété 3.
Soient $P$, $Q$ et $R$ trois propositions logiques.
Si « $P\Leftrightarrow Q$ » et « $Q\Leftrightarrow R$ », Alors « $P\Leftrightarrow R$ ».

On peut donc généraliser cette propriété à une suite de plusieurs propositions logiques, créant un enchaînement d’équivalences logiques qui aboutissent à la conclusion.

Propriété 3bis.
Soient $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ quatre propositions logiques.
Si « $P_1\Leftrightarrow P_2$ » et « $P_2\Leftrightarrow P_3$ » et « $P_3\Leftrightarrow P_4$ » ; Alors « $P_1\Leftrightarrow P_4$ ».

Rédaction de la démonstration de ($P_1\Leftrightarrow P_4$)

  • 1ère étape :
    Nous avons les équivalences (successives) suivantes : $$\begin{array}{rcl}
    P_1\text{ est vraie} &\Leftrightarrow& P_2\text{ est vraie ; d’après telle propriété.}\\
    &\Leftrightarrow& P_3\text{ est vraie ; car+justification}\\
    &\Leftrightarrow& P_4\text{ est vraie ; d’après le théorème de Untel.}\\
    \end{array}$$
  • 2ème étape :
    Conclusion. L’équivalence $P_1\Leftrightarrow P_4$ est vraie.

3ème méthode : par contraposée.

  • Raisonnement par équivalences successives (Propriété n°2).
    Par contraposée, on a équivalence entre les deux équivalences : $$(P\Rightarrow Q)\;\text{et}\;[(non P)\Rightarrow (non Q)]$$ Donc, pour démontrer que $(P\Rightarrow Q)$, il est équivalent de démontrer que : $[(non P)\Rightarrow (non Q)]$.

Exemple 2.
1°) Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f (x) =3x+5$. Soient $x$ et $x’$ deux nombres réels. Démontrer que : $f(x) \not= f(x’) \Leftrightarrow x\not= x’$.

Démonstration.
Nous allons faire une démonstration directe par contraposée. Ce qui revient à démontrer que :
$$f(x)= f(x’) \Leftrightarrow x= x’$$

Nous avons les équivalences suivantes : $$\begin{array}{rcl}
f(x) \not= f(x’) &\Leftrightarrow& 3x+5 &=& 3x’+5\\
&\Leftrightarrow& 3x+5-5 &=& 3x’+5-5\\
&\Leftrightarrow& 3x&=& 3x’\\
&\Leftrightarrow& \dfrac{3x}{3}=\dfrac{3x’}{3} \\
&\Leftrightarrow& x=x’ \\
\end{array}$$
Par conséquent, $f(x)= f(x’) \Leftrightarrow x= x’$.
Conculsion. Par contraposée, nous pouvons affirmer que pour tout nombres réels $x$ et $x’$, on a : $$f(x) \not= f(x’) \Leftrightarrow x\not= x’$$

Remarque.
En général, dans une suite d’équivalences logiques, nous pouvons substituer « si, et seulement si, » ou simplement l’abréviation « (ssi) » au symbole $\Leftrightarrow$.

Nous devons suivre l’une ou l’autre méthode de raisonnement pour démontrer l’équivalence de deux propriétés.

3. Autres techniques

Pour démontrer une équivalence logique, on peut commencer, à partir des données du problème, par démontrer un « petit résultat utile », un résultat intermédiaire qui nous permet de justifier une étape de la démonstration et montrer que notre conclusion est vraie.


4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Résolution d’une équation.
Soit $x$ un nombre réel. Démontrer que :
$$2x^2+7x-3 = x(2x+5)+5 \Leftrightarrow x=2$$

Modèle de rédaction
Ici, il est plus judicieux de faire un raisonnement par équivalences successives.
C’est d’ailleurs, ce que nous faisons d’habitude de façon intuitive, depuis le collège, mais sans faire ressortir les « équivalences ».
Il faut s’assurer qu’à chaque étape, nous avons bien équivalence entre les équations successives.

Soit $x$ un nombre réel. Nous avons les équivalences suivantes :
$$\begin{array}{rcrcl}
2x^2+9x-3 = x(2x+5)+5 &\Leftrightarrow 2x^2+x-3 &=& 2x^2+5x+5\\
&\Leftrightarrow 2x^2-2x^2+9x-5x &=& 3+5\\
&\Leftrightarrow 4x &=& 8\\
&\Leftrightarrow \dfrac{4x}{4} &=\dfrac{8}{4}\\
&\Leftrightarrow x=2\\
\end{array}$$
Conclusion. Les deux propriétés $2x^2+9x-3 = x(2x+5)+5$ et $x=2$ sont équivalentes.

On peut en déduire que cette équation admet une unique solution $x=2$. Donc, l’ensemble des solutions de cette équation est : $${\cal S} = \{ 2\}$$


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Exercice résolu n°1. En géométrie.
Soit $x$ un nombre réel. Démontrer que :
$$2x^2+7x-3 = x(2x+5)+5 \Leftrightarrow x=2$$

Modèle de rédaction
Ici, il est plus judicieux de faire un raisonnement par équivalences successives.
C’est d’ailleurs, ce que nous faisons d’habitude de façon intuitive, depuis le collège, mais sans faire ressortir les « équivalences ».
Il faut s’assurer qu’à chaque étape, nous avons bien équivalence entre les équations successives.

Soit $x$ un nombre réel. Nous avons les équivalences suivantes :
$$\begin{array}{rcrcl}
2x^2+9x-3 = x(2x+5)+5 &\Leftrightarrow 2x^2+x-3 &=& 2x^2+5x+5\\
&\Leftrightarrow 2x^2-2x^2+9x-5x &=& 3+5\\
&\Leftrightarrow 4x &=& 8\\
&\Leftrightarrow \dfrac{4x}{4} &=\dfrac{8}{4}\\
&\Leftrightarrow x=2\\
\end{array}$$
Conclusion. Les deux propriétés $2x^2+9x-3 = x(2x+5)+5$ et $x=2$ sont équivalentes.

On peut en déduire que cette équation admet une unique solution $x=2$. Donc, l’ensemble des solutions de cette équation est : $${\cal S} = \{ 2\}$$


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5. Exercices supplémentaires pour s’entraîner

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