Le théorème de Thalès, nœud papillon

Liens connexes

1. Le théorème de Thalès, nœud papillon

$(MN)//(BC)$

1.Théorème de Thalès, nœud papillon (1ère version)
Si les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$ et si les deux droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors il y a égalité des trois rapports :
$$\dfrac{AM}{AB} =\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$$

Autrement dit :
Si les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$, formant deux triangles $ABC$ et $AMN$ opposés par le sommet $A$, et si les deux droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors il y a égalité des trois rapports.

Avec des symboles :
Si $M\in (AB)$, $N\in (AC)$ et $(MN) // (BC)\quad$ alors $\quad\dfrac{AM}{AB} =\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$

2.Théorème de Thalès, nœud papillon (2ème version)
Si les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$ et si les deux droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors les longueurs des côtés correspondants des deux triangles $AMN$ et $ABC$ sont proportionnelles.

Sous certaines hypothèses, le théorème de Thalès, nœud papillon, exprime la proportionnalité des côtés correspondants de deux triangles semblables, ayant un sommet commun et dont les côtés opposés à ce sommet sont parallèles.

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. (Brevet des collèges)
La figure ci-dessous n’est pas réalisée en vraie grandeur. Les points $A$, $C$ et $F$ sont alignés, ainsi que les points $B$, $C$ et $G$. Les droites $(AB)$ et $(GF)$ sont parallèles. On donne : $AB = 3$cm, $CF = 8,4$cm et $FG = 11,2$cm. Calculer la longueur $CA$. Justifier votre réponse.

$(AB)//(FG)$

Modèle de rédaction :
1ère étape : Compléter la figure pour visualiser les données.

2ème étape : on cite les hypothèses :
Les droites $(AF)$ et $(BG)$ sont sécantes en $C$ et les deux droites $(AB)$ et $(FG)$ sont parallèles, formant deux triangles $ABC$ et $CFG$, opposés par le sommet $C$.


3ème étape : on applique le théorème de Thalès :
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a égalité des trois rapports :
$$\dfrac{CA}{CF}=\dfrac{CB}{CG}=\dfrac{AB}{FG}$$
4ème étape : on traduit avec les valeurs, on obtient :
$$\dfrac{CA}{8,4}=\dfrac{3}{11,2}=\dfrac{AB}{FG}$$
ou encore $$\dfrac{x}{8,4}=\dfrac{3}{11,2}=\dfrac{AB}{FG}$$
1°) Calcul de $x=CA$
5ème étape : Je garde les 2 rapports utiles pour effectuer les calculs (celui qui contient $x$ et celui que je connais entièrement) : $$\dfrac{x}{8,4}=\dfrac{3}{11,2}$$
J’écris l’égalité des produits en croix : $$11,2\times x = 8,4\times 3$$
Je divise les deux côtés par $11,2$ et je simplifie. $x=\dfrac{8,4\times 3}{11,2}$.
Ce qui donne : $$x=\dfrac{9}{4}$$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;CA =\dfrac{9}{4}\;}}$ ; dont la valeur exacte peut s’écrire sous la forme décimale : $\color{brown}{\boxed{\;CA =2,25\;}}$.

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Exercice résolu n°2. (Brevet des collèges)
La figure ci-dessous n’est pas réalisée en vraie grandeur. Les points $H$, $I$ et $J$ sont alignés, ainsi que les points $K$, $I$ et $L$. Les droites $(LH)$ et $(JK)$ sont parallèles. On donne : $JH = 8$cm, $KL = 10$cm et $IJ = 3$cm. Calculer la longueur $IL$. Justifier votre réponse.

Modèle de rédaction :
1ère étape : Compléter la figure pour visualiser les données.
On remarque qu’ici, les mesures des cotés des deux triangles ne correspondent pas aux rapports.
On pose : $x=IL$, la longueur à calculer.
On a alors : $IK = KL-IL = 10-x$
et $IH= JH-IH=8-5=3$.

$(IJ)//(FG)$

2ème étape : on cite les hypothèses :
Les droites $(LH)$ et $(JK)$ sont sécantes en $I$ et les deux droites $(AB)$ et $(FG)$ sont parallèles, formant deux triangles $IJK$ et $IHL$, opposés par le sommet $I$.


3ème étape : on applique le théorème de Thalès :
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a égalité des trois rapports :
$$\dfrac{IL}{IK}=\dfrac{IH}{IJ}=\dfrac{LH}{JK}$$
4ème étape : on traduit avec les valeurs, on obtient :
$$\dfrac{x}{10-x}=\dfrac{3}{5}=\dfrac{LH}{JK}$$

Calcul de $x=IL$
5ème étape : Je garde les 2 rapports utiles pour effectuer les calculs (celui qui contient $x$ et celui que je connais entièrement) : $$\dfrac{x}{10-x}=\dfrac{3}{5}$$
J’écris l’égalité des produits en croix : $$5x = 3(10-x)$$
je développe et réduis :
$$5x=30-3x$$
Je transpose et je réduis :
$$8x=30$$
Je divise les deux côtés par $8$ et j’obtiens : $x=\dfrac{30}{8}$.
Ce qui donne : $$x=\dfrac{15}{4}$$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;IL =\dfrac{15}{4}\;}}$ ; dont la valeur exacte peut s’écrire sous la forme décimale : $\color{brown}{\boxed{\;CA =3,75\;}}$.

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3. Exercices supplémentaires pour s’entraîner

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