Le théorème de Thalès dans le triangle



1. Le théorème de Thalès dans le triangle

$(MN)//(BC)$

1.Théorème de Thalès dans le triangle (1ère version).
Dans un triangle $ABC$ quelconque, si $M$ est un point du côté $[AB]$ , $N$ est
un point du côté $[AC]$ et si les deux droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors il y a égalité des trois rapports : $$\dfrac{\text{petit}\rightarrow}{\text{grand}\rightarrow}\quad\dfrac{AM}{AB} =\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$$

Avec des symboles :
Si $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN) // (BC)\quad$ alors $\quad\dfrac{AM}{AB} =\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$

2.Théorème de Thalès dans le triangle (2ème version).
Dans un triangle $ABC$ quelconque, si $M$ est un point d’un côté $[AB]$, $N$ est
un point d’un deuxième côté $[AC]$ et si la droite $(MN)$ est parallèle au troisième côté $[BC]$, alors les longueurs des côtés correspondants des deux triangles $AMN$ et $ABC$ sont proportionnelles.

Sous certaines hypothèses, le théorème de Thalès dans le triangle exprime la proportionnalité des côtés correspondants de deux triangles semblables, ayant un sommet commun et dont les côtés opposés à ce sommet sont parallèles.


2. Exercices résolus

Exercice n°1.
$LMN$ est un triangle tel que $LM = 10$cm, $LN = 8$cm et $MN = 12$cm.
On place le point $S$ sur le côté $[LN]$ tel que $LS = 3$cm, puis le point $R$ sur le côté $[LM]$ tel que les droites $(RS)$ et $(MN)$ soient parallèles.
Calculer $LR$ puis $RS$. Justifier votre réponse.

Modèle de rédaction :
1ère étape : Faire une figure à titre indicatif pour visualiser les données.

2ème étape : on cite les hypothèses :
Dans le triangle $LMN$, $R$ est un point du côté $[LM]$, $S$ est un point sur le côté $[LN]$ et les droites $(RS)$ et $(MN)$ soient parallèles.
3ème étape : on applique le théorème de Thalès :
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a égalité des trois rapports :
$$\dfrac{LR}{LM}=\dfrac{LS}{LN}=\dfrac{RS}{MN}$$
4ème étape : on traduit avec les valeurs, on obtient :
$$\dfrac{LR}{10}=\dfrac{3}{8}=\dfrac{RS}{12}$$
1°) Calcul de $LR$
5ème étape : Je garde les 2 rapports utiles pour effectuer les calculs (celui qui contient $LR$ et celui que je connais entièrement) : $$\dfrac{LR}{10}=\dfrac{3}{8}$$
J’écris l’égalité des produits en croix : $$LR\times 8 = 10\times 3$$
Je divise les deux côtés par 8 et je simplifie : $$\dfrac{LR\times 8\!\!\! /}{8\!\!\! /}=\dfrac{10\times 3}{8}$$
Ce qui donne : $LR =\dfrac{30}{8}=\dfrac{15}{4}$.
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;LR =\dfrac{15}{4}\;}}$ ; dont la valeur exacte peut s’écrire sous la forme décimale : $\color{brown}{\boxed{\;LR =3,75\;}}$.

2°) Calcul de $SR$
Je garde les 2 rapports utiles, celui qui contient $RS$ et celui que je connais entièrement : $$\dfrac{RS}{12}=\dfrac{3}{8}$$
J’écris l’égalité des produits en croix : $$LR\times 8 = 12\times 3$$
Je divise les deux côtés par 8 et je simplifie : $$\dfrac{RS\times 8\!\!\! /}{8\!\!\! /}=\dfrac{12\times 3}{8}$$
Ce qui donne : $RS =\dfrac{36}{8}=\dfrac{9}{2}$.
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;RS =\dfrac{9}{2}\;}}$ ; dont la valeur exacte peut s’écrire sous la forme décimale : $$\color{brown}{\boxed{\;RS =4,5\;}}$$


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Exercice résolu n°2.
$FGH$ est un triangle tel que $FH=8$cm. On place les points $I$ sur le côté $[FH]$ tel que $FI = 5$cm, puis le point $J$ sur le côté $[GJ]$ tel que les $GH=6$dcm. De plus, on suppose que les droites $(IJ)$ et $(FG)$ sont parallèles. Calculer $HJ$. Justifier votre réponse.

Modèle de rédaction :
1ère étape : Faire une figure à titre indicatif pour visualiser les données.
On remarque qu’ici, les mesures des cotés des deux triangles ne correspondent pas aux rapports.
On pose : $x=HJ$, la longueur à calculer.
On a alors : $HG = HJ+JG = x+6$
et $HI= FH-FI=8-5=3$.

$(IJ)//(FG)$

2ème étape : on cite les hypothèses :
Dans le triangle $FGH$, $I$ est un point du côté $[HF]$, $J$ est un point sur le côté $[HG]$ et les droites $(IJ)$ et $(FG)$ soient parallèles.
3ème étape : on applique le théorème de Thalès :
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a égalité des trois rapports :
$$\dfrac{HI}{HF}=\dfrac{HJ}{HG}=\dfrac{IJ}{FG}$$
4ème étape : on traduit avec les valeurs, on obtient :
$$\dfrac{3}{8}=\dfrac{x}{x+6}=\dfrac{IJ}{FG}$$
1°) Calcul de $LR$
5ème étape : Je garde les 2 rapports utiles pour effectuer les calculs (celui qui contient $x$ et celui que je connais entièrement) : $$\dfrac{3}{8}=\dfrac{x}{x+6}$$
J’écris l’égalité des produits en croix : $$8x = 3\times (x+6)$$
Ce qui donne : $$8x-3x=18$$
Ce qui équivaut à : $$5x=18$$
Et par suite : $$x=\dfrac{18}{5}$$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;HJ =\dfrac{18}{5}\;}}$ ; dont la valeur exacte peut s’écrire sous la forme décimale : $$\color{brown}{\boxed{\;HJ =3,6\;}}$$


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3. Exercices supplémentaires pour s’entraîner

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