1. Le système de numération en chiffres romains

Nous allons étudier le système de numération décimale de position qui permet d’écrire et de lire les nombres et d’effectuer des calculs avec les quatre opérations.

On connaît bien le système de numération avec des chiffres romains. C’est un système additif et soustractif de juxtaposition. On utilise les symboles suivants comme « chiffres » de référence, avec une barre supérieure pour désigner le nombre de mille : $$\boxed{\;\begin{array}{rcl}
\text{I}&=&1\\ \text{V}&=&5\\ \text{X}&=&10\\ \text{L}&=&50\\ \text{C}&=&100\\ \text{D}&=&500\\ \text{M}&=&1000\\ \overline{\text{N}}&=&N~\text{mille}\\ \end{array}\;}$$ On peut écrire tous les nombres avec les règles d’utilisation suivantes :

Remarques

Un bâton $\text{I}=1$. Deux bâtons $\text{II}=2$. Trois bâtons $\text{III}=3$… Si on continue ainsi, l’écriture d’un nombre devient vite compliquée. Pour simplifier et combler les trous, on a introduit des additions et soustractions pour écrire les nombres intermédiaires. Ainsi, avec le chiffre de référence $\text{V}=5$, on construit de nouveaux nombres :
$\bullet$ En mettant un $\text{I}$ à gauche (on soustrait 1) cela donne : $\text{IV}=4$.
$\bullet$ Et en mettant un $\text{I}$ à droite (on ajoute 1) cela donne : $\text{VI}=6$ et $\text{VII}=7$,… etc.
$\bullet$ Mais on ne répète jamais quatre fois le même chiffre. On n’écrit pas $9$ avec $\text{VIIII}$, mais $\text{IX}=9$.

2. Règles d’utilisation

  • On écrit les chiffres dans le sens décroissant, du plus grand au plus petit.
  • On additionne la valeur d’un chiffre au chiffre de référence suivant lorsqu’il est plus petit et situé à droite.
    Exemples : $\text{VIII}=8$; $\text{XI}=11$; $\text{XII}=12$; $\text{XXVII}=27$; etc.
  • On soustrait la valeur d’un chiffre du chiffre de référence suivant lorsqu’il est plus petit et situé à gauche.
    Exemple : $\text{IV}=4$; $\text{IX}=9$; $\text{XL}=40$; $\text{XLIX}=49$ et $\text{XC}=90$; $\text{CD}=400$ et $\text{CM}=900$.
  • On ne répète jamais quatre fois le même chiffre. On utilise la barre supérieure pour multiplier les mille, à partir de 3999.. Par exemple : $4\,000=\overline{\text{IV}}$. On écrit par exemple : $$4\, 439 =\overline{\text{IV}}\text{CDXXXIX}$$

3. Exercices résolus

Exercice 1.
Écrire en chiffres romains les nombres suivants écrits dans le système décimal.
$23$ ; $76$ ; $156$ ; $498$ ; $994$ ; $1666$ et $6948$.

$23=\text{XXIII}$ ;
$76=\text{LXXVI}$ ;
$156=\text{CLVI}$ ;
$498=\text{CDXCXVIII}$ ;
$994=\text{CMXCIV}$ ;
$1666=\text{MDCLXVI}$ ;
$6948=\overline{\text{VI}}\text{CMXLVIII}$.
$\blacktriangle$ CQFD.

Remarque 1.

Ce nombre $1666=\text{MDCLXVI}$ utilise une seule fois tous les « chiffres » romains dans l’ordre décroissant.
$1666=\text{MDCLXVI}$ est l’année du grand incendie de Londres. Un incendie très violent qui a ravagé le centre de la ville de Londres du dimanche 2 septembre au mercredi 5 septembre 1666.

Exercice 2.
Écrire dans le système de numération décimal, les nombres suivants écrits en chiffres romains :
$\text{XCIX}$ ; $\text{DCLXXVIII}$ ; $\text{CDLXXXIV}$ ; $\text{CMXCIX}$ ; $\overline{\text{L}}\text{MMM}$ ; $\overline{\text{LV}}\text{MCMXLVIII}$.

$\text{XCIX}=49$ ;
$\text{DCLXXVIII}=678$ ;
$\text{CDLXXXIV}=484$ ;
$\text{CMXCIX}=999$ ;
$\text{\overline{\text{L}}MMM}=53\,000$ ;
$\text{\overline{\text{LV}}MCMXLVIII}=56\,948$ ;
$\blacktriangle$ CQFD.

Remarques 2.

  • Les chiffres romains sont utilisés dans la numérotation des siècles. On écrit « le $\text{XX}^e$ siècle » et jamais 20ème ou 20${}^{ème}$, ni 20${}^e$.
  • Le système de numération en chiffres romains ne permet pas de faire des calculs, ni de poser des opérations aussi simples soient-elles.