La fonction logarithme népérien

1. De l’exponentielle au logarithme

On sait que la fonction exponentielle est définie, dérivable (donc continue) et strictement croissante sur $\R$ et prend ses valeurs dans $\R^{*+}=\left]0;+\infty \right[$.

Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, tout nombre réel $x$ strictement positif, admet un unique antécédent $t\in\R$ par la fonction exponentielle.

Autrement dit :
Pour tout nombre réel strictement positif, l’équation $\e^t=x$, d’inconnue $t$, admet une solution unique $t\in\R$.

Théorème et définition.
Pour tout nombre réel strictement positif, l’équation $\e^t= x$, d’inconnue $t$, admet une solution unique $t\in\R$.
La fonction qui, à tout nombre $x > 0$, associe l’unique solution de l’équation $\e^t=x$, s’appelle la fonction logarithme népérien et se note $\ln$ (lire « L, N »).
On écrit $t = \ln(x)$ ou simplement $t = \ln x$.

Exemples

1°) Pour $x = −7$, l’équation $\e^t=-7$, n’admet aucune solution car $\e^t>0$ pour tout $t\in\R$. Donc $\ln (−7)$ n’existe pas.
Il en est de même pour $ln x$, pour tout $x\leqslant 0$.

2°) Pour $x =1$, l’équation $\e^t=1\Leftrightarrow \e^t=\e^0\Leftrightarrow t=0$.
Donc, cette équation admet une unique solution $t=0$. Par conséquent, $\ln1=0$.

3°) Pour $x = \e$ , l’équation $\e^t=\e\Leftrightarrow \e^t=\e^1\Leftrightarrow t=1$.
Donc, cette équation admet une unique solution $t =1$. Par conséquent, $\ln\e=1$.

4°) Pour $x = 5$, par définition de la fonction $\ln$, l’équation $\e^t=5$ admet une unique solution $t=\ln 5$. A l’aide de la calculatrice, on peut déterminer une valeur approchée de $\ln 5$ en utilisant la fonction exponentielle.
On calcule $\e^1= \e \simeq 2,71828…$ et $\e^2\simeq7,3890…$. Comme $ \e^1< 5< \e^2$, on en déduit que $1< t < 2$, c’est-à-dire $1< \ln 5 < 2$. On rentre Y= e^X dans la calculatrice et, en prenant des pas de $0,1$ puis $0,01$ et $0,001$ puis $0,0001$, on obtient
$$t=\ln5\simeq 1,6094\ldots$$
Résultat qu’on peut obtenir directement sur calculatrice en tapant : $\ln(5)$.

Conséquences immédiates

1°) Le domaine de définition de la fonction $\ln$ ainsi définie est : $D_{\ln}=\R^{*+}=\left]0;+\infty \right[$.
$$\begin{array}{rl}
\ln : ]0 ;+\infty[&\longrightarrow \R\\
&x\longmapsto \ln x \\ \end{array}$$

2°) D’après ce qui précède, on a première propriété immédiate : $$\color{brown}{\boxed{\;(P_0)\quad\ln1= 0\quad\text{et}\quad \ln\e = 1\;}}$$

2. Propriétés de réciprocité de $\ln$ et $\exp$

Propriétes et definition.
1°) Pour tout nombre réel $x$ strictement positif, on a : $$(P_{1a})\quad\boxed{\;\;\e^{\ln x}=x\;\;}$$
2°) Pour tout nombre réel x, on a : $$(P_{1b})\quad\boxed{\;\;\ln(\e^x)=x\;\;}$$
On dit que les fonctions $\exp$ et $\ln$ sont réciproques l’une de l’autre. Autrement dit :
Pour tout réel $a$ strictement positif et tout réel $b$, on a : $$(P_{1c})\quad\boxed{\;\;b=\ln a\Longleftrightarrow \e^b=a\;\;}$$

1°) On sait que, pour tout nombre réel $x>0$, l’équation $\e^t=x$, d’inconnue $t$, admet une solution unique $t = \ln x$. En remplaçant $t$ par $\ln x$, on obtient : $\e^{\ln x}=x$. CQFD.

2°) Soit x un nombre réel. On pose : $X=\e^x$. Alors $X > 0$. Or, on sait que, pour tout nombre réel $X > 0$, l’équation $\e^t =X$, d’inconnue $t$, admet une solution unique $t = \ln X$, c’est-à-dire $t = \ln (\e^x)$.
D’autre part, on sait que : $\e^t=X\Leftrightarrow \e^t=\e^x\Leftrightarrow t=x$, d’après les propriétés de la fonction exponentielle.
Finalement, par unicité de la solution, on obtient : $\ln (\e^x) = x$. CQFD.

3. Sens de variation et limites graphiques

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ les courbes $C_{\exp}$ et $C_{\ln}$ des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la première bissectrice, c’est-à-dire par rapport à la droite $\Delta$ d’équation $y=x$.
$$\color{brown}{\boxed{\;M (x;y)\in C_{\ln}\Leftrightarrow [y = \ln x] \Leftrightarrow [x=\e^y]\Leftrightarrow M'(y ; x) \in C_{\exp}\;}}$$

Fig. 1. Les courbes $C_{\ln}$ et $C_{\exp}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

Propriétes.
1°) La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0 ;+\infty[$.
2°) Limites graphiques : $$\begin{array}{c}
(L_1)~:\quad\boxed{\;\;\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}\ln x=-\infty\;\;}\\
(L_2)~:\quad\boxed{\;\;\dlim_{x \to +\infty}\ln x=+\infty\;\;}\\
\end{array}$$

1°) La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0 ;+\infty[$.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $0 < a < b$.
D’après les propriétés de réciprocité, on sait que $a = \ln(\e^a)$ et $b = \ln(\e^b)$ .
Par hypothèse, $a < b$, donc $$. Or, on sait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ donc $\ln a < \ln b$. CQFD

2.a) Limite en $0^{+}$.
Soit $A$ un nombre réel négatif quelconque. Pour tout réel strictement positif $x$, on a : $\ln x< A$ équivaut à $\e^{\ln x}< \e^{\ln A}$, puisque la fonction exponentielle est strictement croissante équivaut à $0 < x <\e^{A}$, d’après les propriétés de réciprocité.
Par suite, pour tout réel strictement positif x : si $0 < x <\e^{A}$, alors $\ln x<A$.
Donc la fonction ln est inférieure à tout nombre négatif choisi au départ, à partir d’un certain rang. Donc : $$\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}\ln x=-\infty$$

2.b) Limite en $+\infty$
Soit $A$ un nombre réel positif quelconque. Pour tout réel strictement positif $x$, on a :
$\ln x > A$ équivaut à $\e^{\ln x}>\e^A$, puisque la fonction $\exp$ est strictement croissante équivaut à $x>e^A$, d’après les propriétés de réciprocité.
Par suite, pour tout réel strictement positif $x$ : Si $x>\e^A$, Alors $\ln x>A$. Donc la fonction $\ln$ est supérieure à tout nombre positif choisi au départ, à partir d’un certain rang. Donc : $$\dlim_{x \to +\infty}\ln x=+\infty$$

Conséquences immédiates

Propriétes.
La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0 ;\infty[$ :
1°) Pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $b$, on a l’équivalence :
$$(P_3)\quad \ln a = \ln b\text{ si et seulement si }a=b$$
2°) Pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $b$, on a l’équivalence :
$$\begin{array}{c}
(P_4)\quad \ln a < \ln b\text{ si et seulement si }a<b\\
(P_{4bis})\quad \ln a \leqslant \ln b\text{ si et seulement si }a \leqslant b\\
\end{array}$$
3°) En particulier : pour tout nombre réel $x>0$, le signe de $\ln x$ est donné par :
$$\begin{array}{c}
(P_5)\quad \ln x > 0\text{ si et seulement si }x>1\\
(P_{5bis})\quad \ln x <0\text{ si et seulement si }0<x<1\\
\end{array}$$

Ces propriétés nous permettent de résoudre certaines équations et inéquations contenant l’exponentielle ou le logarithme.

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Résoudre l’équation : $\e^{2x+1} = 3$ $(E)$

Tout d’abord, cette équation est définie pour tout $x\in\R$ Donc $D_E=\R$.
On sait que pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs :
$\qquad\ln a = \ln b$ équivaut à $a = b$.
Donc, en appliquant le logarithme népérien aux deux membres de cette équation, on obtient : $$\ln(\e^{2x+1}=\ln 3$$
Ce qui donne $2x+1= \ln 3$. Par suite : $x=\dfrac{-1+\ln3}{2}$.
Conclusion. Cette équation admet une seule solution et on a : $$\color{brown}{\boxed{\;S=\left\{\dfrac{-1+\ln3}{2}\right\}\;}}$$

Exercice résolu n°2.
Résoudre l’inéquation : $\e^{2x+1} \leqslant 3$ $(E’)$

Tout d’abord, cette inéquation est définie pour tout $x\in\R$ Donc $D_{E’}=\R$.
On sait que pour tous $a$ et $b$ :
$\ln a \leqslant \ln b$ équivaut à $a\leqslant b$.
Donc, en appliquant le logarithme népérien aux deux membres de cette inéquation, on obtient : $$\ln(\e^{2x+1}\leqslant \ln 3$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de cette inéquation est : $$\color{brown}{\boxed{\;S=\left]-\infty ;\dfrac{-1+\ln3}{2}\right]\;}}$$

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