La fonction logarithme népérien
1. De l’exponentielle au logarithme
On sait que la fonction exponentielle est définie, dérivable (donc continue) et strictement croissante sur $\R$ et prend ses valeurs dans $\R^{*+}=\left]0;+\infty \right[$.
Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, tout nombre réel $x$ strictement positif, admet un unique antécédent $t\in\R$ par la fonction exponentielle.
Autrement dit :
Pour tout nombre réel strictement positif, l’équation $\e^t=x$, d’inconnue $t$, admet une solution unique $t\in\R$.
Théorème et définition.
Pour tout nombre réel strictement positif, l’équation $\e^t= x$, d’inconnue $t$, admet une solution unique $t\in\R$.
La fonction qui, à tout nombre $x > 0$, associe l’unique solution de l’équation $\e^t=x$, s’appelle la fonction logarithme népérien et se note $\ln$ (lire « L, N »).
On écrit $t = \ln(x)$ ou simplement $t = \ln x$.
Exemples
1°) Pour $x = −7$, l’équation $\e^t=-7$, n’admet aucune solution car $\e^t>0$ pour tout $t\in\R$. Donc $\ln (−7)$ n’existe pas.
Il en est de même pour $ln x$, pour tout $x\leqslant 0$.
2°) Pour $x =1$, l’équation $\e^t=1\Leftrightarrow \e^t=\e^0\Leftrightarrow t=0$.
Donc, cette équation admet une unique solution $t=0$. Par conséquent, $\ln1=0$.
3°) Pour $x = \e$ , l’équation $\e^t=\e\Leftrightarrow \e^t=\e^1\Leftrightarrow t=1$.
Donc, cette équation admet une unique solution $t =1$. Par conséquent, $\ln\e=1$.
4°) Pour $x = 5$, par définition de la fonction $\ln$, l’équation $\e^t=5$ admet une unique solution $t=\ln 5$. A l’aide de la calculatrice, on peut déterminer une valeur approchée de $\ln 5$ en utilisant la fonction exponentielle.
On calcule $\e^1= \e \simeq 2,71828…$ et $\e^2\simeq7,3890…$. Comme $ \e^1< 5< \e^2$, on en déduit que $1< t < 2$, c’est-à-dire $1< \ln 5 < 2$. On rentre Y= e^X dans la calculatrice et, en prenant des pas de $0,1$ puis $0,01$ et $0,001$ puis $0,0001$, on obtient
$$t=\ln5\simeq 1,6094\ldots$$
Résultat qu’on peut obtenir directement sur calculatrice en tapant : $\ln(5)$.
Conséquences immédiates
1°) Le domaine de définition de la fonction $\ln$ ainsi définie est : $D_{\ln}=\R^{*+}=\left]0;+\infty \right[$.
$$\begin{array}{rl}
\ln : ]0 ;+\infty[&\longrightarrow \R\\
&x\longmapsto \ln x \\ \end{array}$$
2°) D’après ce qui précède, on a première propriété immédiate : $$\color{brown}{\boxed{\;(P_0)\quad\ln1= 0\quad\text{et}\quad \ln\e = 1\;}}$$
2. Propriétés de réciprocité de $\ln$ et $\exp$
Propriétes et definition.
1°) Pour tout nombre réel $x$ strictement positif, on a : $$(P_{1a})\quad\boxed{\;\;\e^{\ln x}=x\;\;}$$
2°) Pour tout nombre réel x, on a : $$(P_{1b})\quad\boxed{\;\;\ln(\e^x)=x\;\;}$$
On dit que les fonctions $\exp$ et $\ln$ sont réciproques l’une de l’autre. Autrement dit :
Pour tout réel $a$ strictement positif et tout réel $b$, on a : $$(P_{1c})\quad\boxed{\;\;b=\ln a\Longleftrightarrow \e^b=a\;\;}$$
3. Sens de variation et limites graphiques
Dans un repère orthonormé $(O;\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ les courbes $C_{\exp}$ et $C_{\ln}$ des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la première bissectrice, c’est-à-dire par rapport à la droite $\Delta$ d’équation $y=x$.
$$\color{brown}{\boxed{\;M (x;y)\in C_{\ln}\Leftrightarrow [y = \ln x] \Leftrightarrow [x=\e^y]\Leftrightarrow M'(y ; x) \in C_{\exp}\;}}$$

Propriétes.
1°) La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0 ;+\infty[$.
2°) Limites graphiques : $$\begin{array}{c}
(L_1)~:\quad\boxed{\;\;\dlim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}}\ln x=-\infty\;\;}\\
(L_2)~:\quad\boxed{\;\;\dlim_{x \to +\infty}\ln x=+\infty\;\;}\\
\end{array}$$
Conséquences immédiates
Propriétes.
La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0 ;\infty[$ :
1°) Pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $b$, on a l’équivalence :
$$(P_3)\quad \ln a = \ln b\text{ si et seulement si }a=b$$
2°) Pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $b$, on a l’équivalence :
$$\begin{array}{c}
(P_4)\quad \ln a < \ln b\text{ si et seulement si }a<b\\
(P_{4bis})\quad \ln a \leqslant \ln b\text{ si et seulement si }a \leqslant b\\
\end{array}$$
3°) En particulier : pour tout nombre réel $x>0$, le signe de $\ln x$ est donné par :
$$\begin{array}{c}
(P_5)\quad \ln x > 0\text{ si et seulement si }x>1\\
(P_{5bis})\quad \ln x <0\text{ si et seulement si }0<x<1\\
\end{array}$$
Ces propriétés nous permettent de résoudre certaines équations et inéquations contenant l’exponentielle ou le logarithme.
4. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Résoudre l’équation : $\e^{2x+1} = 3$ $(E)$
Exercice résolu n°2.
Résoudre l’inéquation : $\e^{2x+1} \leqslant 3$ $(E’)$
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