La fonction logarithme décimal


1. Définition et propriétés

Définition.
La fonction logarithme décimal, notée $\log$, est définie sur $]0;+\infty[$ pour tout réel $x>0$, par : $$\log x=\dfrac{\ln x}{\ln10}\quad\text{avec}~\ln(10)\simeq 2,30$$

Remarques

1°) Le logarithme népérien est la « fonction logarithme de base $\e$ ». La fonction $\log$ est la « fonction logarithme de base 10 » et se note également $\log_{10}$.

2°) La fonction logarithme décimal est la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base $10$ qui, à tout nombre réel $x$, fait associer $10^x$.

3°) Pour tout réel $x>0$ : $\log x= \dfrac{\ln x}{\ln 10} = k\ln x$ avec $k=\dfrac{1}{\ln(10)}\simeq 0,43478261\ldots>0$.

Par conséquent, la fonction logarithme décimal vérifie la relation fondamentale et par suite, « hérite » de toutes les propriétés de la fonction logarithme népérien, sauf une ! On sait que  : $$\boxed{\;\;\ln\e = 1,~\text{ alors que }~\log(10) = 1\;\;}$$

Propriétes 1.
1°) La fonction $\log$ est définie, dérivable et strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ et pour tout $x>0$ : $$\log'(x)=\dfrac{k}{x}=\dfrac{1}{x\ln10}$$
2°) Pour tout réel $a$ strictement positif et tout réel $b$, on a : $$\log a = b~\text{ (ssi) }~a = 10^b$$
3°) Les limites sont toutes à multiplier par $k=\dfrac{1}{\ln(10)}>0$.
4°) Les propriétés algébriques sont identiques ($k>0$) sauf une !
$\begin{array}{l}
(P_0) :\quad \log 1 = 0\;\text{ et }\;\ln 10 = 1\\
(P_1) :\quad\log (ab) = \log a + \log b\\
(P_2) :\quad\log\left(\dfrac{a}{b}\right)=\log a –\log b\\
(P_3) :\quad\log\left(\dfrac{1}{b}\right)=\;–\log b\\
(P_4) :\quad\log\left(a^n\right)=n\log a\\
(P_5) :\quad\log\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}\log a\\
\end{array}$

Immédiat


2. Échelles logarithmiques

Source Wikipedia.org (avec quelques aménagements) :

Mots clés : Échelle logarithmique / repère semi-logarithmique / repère log-log /

« Parfois, on utilise des unités logarithmiques, c’est-à-dire dont la valeur est le logarithme du rapport entre deux valeurs ($v_{min}$et $v_{max}$) d’une grandeur. La base logarithmique choisie dépend des habitudes de la discipline qui les utilisent :

$\bullet$ Le logarithme népérien, dont la base est $\e$, facilite certains calculs, mais ne permet pas d’accéder intuitivement à l’ordre de grandeur décimal.

$\bullet$ Le logarithme décimal (base $10$) donne directement une notion de l’ordre de grandeur puisque la caractéristique, c’est-à-dire le signe et la partie avant la virgule, le donne directement. Par exemple : Une échelle, qui va dans la réalité de $10^{-10}$ à $10^{10}$, sera représentée sur un axe allant de $-10$ à $10$. Très utile en astronomie, statistiques, intensité sonore, magnitude d’un séisme, calcul du $pH$,$\ldots$

$\bullet$ Une unité sur l’axe correspond à l’unité précédente multipliée par $10$

$\bullet$ Exemple pour le $pH$ : (potentiel en Hydrogène). Le $pH$ mesure l’acidité ou la basicité d’une solution. Le $pH$ s’exprime selon une échelle logarithmique de $0$ à $14$ unités.
$–$ Une eau pure est « neutre » possède un $pH$ de $7$ unités ;
$–$ Un $pH$ inférieur à $7$ indique que l’eau est acide ;
$–$ Un $pH$ supérieur à $7$ indique que l’eau alcaline ou basique.

La baisse d’une unité de $pH$ implique que l’acidité est multipliée par un facteur $10$. Ainsi, une eau de $pH=6$ est dix fois plus acide qu’une eau de $pH=7$; une eau de $pH=5$ est $100$ fois plus acide qu’une eau de $pH=7$.

Le décibel, couramment utilisé en télécommunications, électronique et acoustique se définit comme $10$ fois le logarithme décimal du rapport entre deux puissances, c’est-à-dire le logarithme de base $100,1$ (soit environ $1,26$) du rapport entre deux puissances. En effet, c’est à ce multiplicateur que correspond un décibel.

le logarithme de base $2$ sert en informatique, avec les bits et en musique, avec les octaves.
De la même façon en musique, le demi-ton de la gamme tempérée, qui est la douzième partie de l’octave, est le logarithme de base $21\div12$ (soit environ $1,06$) de la fréquence.

Une échelle linéaire graduée dans une unité logarithmique équivaut à une échelle logarithmique, du point de vue de la grandeur considérée. »

Exercice résolu n°1.


Exercice résolu n°2.