La division euclidienne


1. Partie entière d’un nombre réel

Soit $x$ un nombre réel. Alors, il existe un unique entier relatif $n$ tel que $x$ soit compris entre $n$ (inclus) et $n+1$ (exclu).

Autrement dit : Pour tout nombre réel $x$, il existe un unique entier relatif $n$ tel que : $$\color{brown}{\boxed{\;n\leqslant x<n+1\;}}$$

On dit que « $n$ est la partie entière de $x$ » et on note : $E(x) =n$.

Alors, pour tout nombre réel $x$, on a : $$\color{brown}{\boxed{\;E(x)\leqslant x<E(x)+1\;}}$$

Exemples

$E(2,1563)=2$ ; $E(\pi)=3$ ; $E\left(\dfrac{20}{3}\right)=6$ ; $E(-2)=-2$
et $E(-2,5) = -3$ (Tiens ! pourquoi ?) ; $E(\sqrt{17})=4$ ;$\ldots$

2. La division euclidienne

Théorème 1.
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels, $b$ étant non nul.
Alors, il existe un unique couple d’entiers $(q;r)$ tel que : $$a = bq +r,\quad\text{avec }0\leqslant r < b$$ L’entier $q$ est égal à la partie entière du quotient (exact) de $a$ par $b$. Autrement dit : $$q=E\left(\dfrac{a}{b}\right)\quad\text{et}\quad r=a-bq$$

Définition 1.
Dans l’écriture de la division euclidienne de $a$ par $b$, $a$ est le dividende, $b$ est le diviseur, l’entier $q$ s’appelle le quotient entier et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.

Exemples

1°) La division euclidienne de 38 par 7 s’écrit en ligne : $$38=7\times 5+3$$
$5$ est le quotient entier de $38$ par $7$ et $3$ est le reste de la division euclidienne de $38$ par $7$. Ici on a bien : $r=3$ et $0\leqslant r<7$.

2°) L’écriture $$38=7\times 4+10$$ est une égalité vraie, mais ne correspond pas à une division euclidienne, car le reste n’est pas strictement plus petit que le diviseur.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.