1. Inverse d’une fraction

On sait que deux nombres relatifs sont inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à $1$.
Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs non nuls. Alors $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{b}{a}=\dfrac{ab}{ba}=1$. On en déduit la propriété très importante suivante :

Propriété 1.
Soient $a$ et $b$ sont deux nombres relatifs non nuls, alors l’inverse de $\dfrac{a}{b}$ est égal à $\boxed{~\dfrac{b}{a}~}$. Donc :$$\boxed{~\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{a}{b}\right)}=\dfrac{b}{a}~}$$

2. Quotient de deux fractions de nombres relatifs

On sait aussi que « Pour diviser par un nombre non nul, on multiplie par son inverse ».
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres relatifs non nuls. On a alors : $$\begin{array}{rl}\dfrac{\left(\dfrac{a}{b}\right)}{\left(\dfrac{c}{d}\right)}&=\dfrac{a}{b}\div\left(\dfrac{c}{d}\right)\\ &=\dfrac{a}{b}\times\left(\dfrac{c}{d}\right)^{-1}\\ &= \dfrac{a}{b} \times \dfrac{1}{\left(\dfrac{c}{d}\right)}\\
&=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}\\ \end{array}$$

Propriété 2.
Pour diviser par une fraction non nulle, on multiplie par son inverse ».
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres relatifs non nuls. On a alors : $$\boxed{~
\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times \left(\dfrac{c}{d}\right)^{-1}=\dfrac{a}{b}\times \left(\dfrac{d}{c}\right)~}$$ Ce qui donne : $$\boxed{~\dfrac{\left(\dfrac{a}{b}\right)}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{1}{\left(\dfrac{c}{d}\right)}
=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}~}$$

3. Exercices résolus

Exemple résolu n°1.
Pour chacun des nombres suivants, écrire son opposé, puis son inverse.
$a=\dfrac{5}{3}$ ; $b=9$ ; $c=\dfrac{-7}{3}$ et $d=\dfrac{5}{-8}$.

Corrigé.
L’opposé de $x$ est égal à $-x$. Alors que si $x\neq0$, l’inverse de $x$ est $\dfrac{1}{x}$. L’inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$ en respectant la règle des signes.
$$\begin{array}{|l|c|c|}\hline
\text{Nombres} & \text{Opposé} & \text{Inverse}\\ \hline
a=\dfrac{5}{3} & -\dfrac{5}{3} & \dfrac{3}{5}\\ \hline
b=9 & -9 & \dfrac{1}{9}\\ \hline
c=\dfrac{-7}{3} & \dfrac{7}{3} & \dfrac{3}{-7}=-\dfrac{3}{7}\\ \hline
d=\dfrac{5}{-8}& \dfrac{5}{8} & \dfrac{-8}{5}= -\dfrac{8}{5}\\ \hline
\end{array}$$

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Exemple résolu n°2.
Écrire simplement chacun des nombres suivants :
$a=\dfrac{1}{\left(\dfrac{5}{3}\right)}$ ; $b=\dfrac{1}{\dfrac{-4}{9}}$ et $c=\dfrac{\dfrac{1}{8}}{5}$.

Corrigé.
$a=\dfrac{1}{\left(\dfrac{5}{3}\right)}$ est l’inverse de $\dfrac{5}{3}$. Donc, $\boxed{~a=\dfrac{3}{5}~}$.

$b=\dfrac{1}{\dfrac{-4}{9}}$ est l’inverse de $\dfrac{-4}{9}$. Donc, $\boxed{~b=\dfrac{9}{-4}=-\dfrac{9}{4}~}$.

$c=\dfrac{\dfrac{1}{8}}{5}$ est le quotient de $\dfrac{1}{8}$ par $5$. Donc, $c=\dfrac{1}{8}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{1\times1}{8\times5}$. D’où : $\boxed{~c=\dfrac{1}{40}~}$.

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Exemple résolu n°3.
Calculer et donner le résultat sous la forme de fraction simple.
$a=\dfrac{10}{\dfrac{15}{4}}$ ; $b=\dfrac{3}{\dfrac{-15}{6}}$ ; $c=\dfrac{\dfrac{10}{12}}{\dfrac{-5}{18}}$ et $d=\dfrac{24}{35}\div\left(\dfrac{20}{21}\right)$.

Corrigé.
$a=\dfrac{10}{\dfrac{15}{4}}=10\times\dfrac{1}{\dfrac{15}{4}}=10\times\dfrac{4}{15}$. Donc :
$a=\dfrac{10\times4}{15}=\dfrac{\not5\times2\times4}{3\times\not5}=\dfrac{8}{3}$. D’où : $\boxed{~a=\dfrac{8}{3}~}$

$b=\dfrac{3}{\dfrac{-15}{6}}=3\times\dfrac{1}{\dfrac{-15}{6}}=3\times\dfrac{6}{-15}$. Donc :
$b=\dfrac{3\times6}{-15}=\dfrac{\not3\times2\times3}{-\not3\times5}=\dfrac{6}{-5}$. D’où : $\boxed{~a=-\dfrac{6}{5}~}$

$c=\dfrac{\dfrac{10}{12}}{\dfrac{-5}{18}}=\dfrac{10}{12}\times\dfrac{18}{-5} = \dfrac{10\times18}{12\times(-5)}$. Donc : $c=\dfrac{\not2\times\not5\times\not2\times\not3\times3}{\not2\times\not2\times\not3\times(-5)}=\dfrac{3}{-5}$. D’où : $\boxed{~c=-\dfrac{3}{5}~}$

$d=\dfrac{24}{35}\div\left(\dfrac{20}{21}\right)=\dfrac{24}{35}\times\dfrac{21}{20}$.
Donc : $d=\dfrac{24\times21}{35\times20}=\dfrac{2\times3\times\not4\times3\times\not7}{5\times\not7\times\not4\times5}$. D’où : $\boxed{~d=\dfrac{18}{25}~}$

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